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排列组合问题的基本模型及解题方法
导语：解决排列组合问题要讲究策略，首先要认真审题，弄清楚是排列(有序)还是组合(无序)，还是排列与组合混合问题。其次，要抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原则进行“分类与分步”。加法原理的特征是分类解决问题，分类必须满足两个条件：①类与类必须互斥(不相容)，②总类必须完备(不遗漏)；乘法原理的特征是分步解决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性。分类与分步是解决排列组合问题的最基本的思想策略，在实际操作中往往是“步”与“类”交叉，有机结合，可以是类中有步，也可以是步中有类，以上解题思路分析，可以用顺口溜概括为：审明题意，排（组）分清；合理分类，用准加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪。注意以下几点： 1、解排列组合应用题的一般步骤为：
①什么事：明确要完成的是一件什么事（审题）； ②怎么做：分步还是分类，有序还是无序。 2、解排列组合问题的思路
（1）两种思路：直接法，间接法。（2）两种途径：元素分析法，位置分析法。 3、基本模型及解题方法： (一)、元素相邻问题 （1）、全相邻问题，捆邦法
例1、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有（ C ）种。
A、720 B、360 C、240 D、120
说明：从上述解法可以看出，所谓“捆邦法”，就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。 （2）、全不相邻问题插空法
例2、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同的排法，
解：先将6个歌唱节目排好，其中不同的排法有6！，这6个节目的空隙及两端共有七个位置中再排4个舞蹈节目有A7种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为A7A6种 例3、高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是
A、1800 B、3600 C、4320 D、5040
解：不同排法的种数为A5A6＝3600，故选B
说明：从解题过程可以看出，不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将特殊元素插入，故叫插空法。 （3）、不全相邻排除法，排除处理
例4、五个人站成一排，其中甲、乙、丙三人有两人相邻，有多少排法？
解：A55332322?A3A3?A2A3或3A22A3A2?72
52446例5、有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位
不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 ．解法一： ①前后各一个，有8×12×2＝192种方法
②前排左、右各一人：共有4×4×2＝32种方法
③两人都在前排：两人都在前排左边的四个位置：
乙可坐2个位置 乙可坐1个位置
2＋2＝4 1＋1＝2
此种情况共有4＋2＝6种方法
因为两边都是4个位置，都坐右边亦有6种方法，所以坐在第一排总共有6＋6＝12种方法 ④两人都坐在第二排位置，先规定甲左乙右
∴ 甲左乙右总共有
乙左甲右也同样有55种方法，所以甲、乙按要求同坐第二排总共有55×2＝110种方法。综上所述，按要求两人不同排法有 192＋32＋12＋110＝346种
解法二：考虑20个位置中安排两个人就坐，并且这两人左右不相邻，4号座位与5号座位不算相邻（坐在前排相邻的情况有12种。），7号座位与8号座位不算相邻（坐在后排相邻的情况有22种。），
2共有A20?2(11?6)?346种
10?9?8???2?1?10?1?10?552种方法．同样甲、乙可互换位置，
（二）、定序问题缩倍法
例6、信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是（ ）（用数字作答）。 解：5面旗全排列有A5种挂，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能作一次的挂法，故有
5A5?10 32A3A25说明:在排列的问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序问题,这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便.
例7、某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是 。 解一：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中（插一个或二个），
22可得有A5?5?A2＝30种不同排法。
解二：
6!=30 4!例8、由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的6位数，其中个位数字小于十位的数字的共有（ ）
A、210个 B、300个 C、464个 D、600个 解：
115A5A5?300 故选B 2（三）、多元问题分类法
例9．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有 种
解析：某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，
24甲和丙只能同去或同不去，可以分情况讨论，① 甲、丙同去，则乙不去，有C5?A4=240种选法；②344甲、丙同不去，乙去，有C5?A4=240种选法；③甲、乙、丙都不去，有A5?120种选法，共有600
种不同的选派方案．
例10、设集合I??1,2,3,4,5?。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有 (B)
A、50种 B、49种 C、48种 D、47种
解析：若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有C5=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C5=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C5=5种；若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有C5=1种；若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C5=10种；若集合A中有两个元素，集合B中有两个个元素，则选法种数有C5=5种；若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有
54=1种；若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C5=5种；若集合A中有三C5434532个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C5=1种；若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种 数有C5=1种；总计有49种，选B. 解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，
从5个元素中选出2个元素，有C5=10种选法，小的给A集合，大的给B集合；
从5个元素中选出3个元素，有C5=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，
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较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种方法；
从5个元素中选出4个元素，有C5=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法；
从5个元素中选出5个元素，有C5=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4×1=4种方法；
总计为10+20+15+4=49种方法。选B.
例11、将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）
A、10种 B、20种 C、36种 D、52种
解析：将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个
1数不小于该盒子的编号，分情况讨论：①1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有C4?4种2方法；②1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有C4?6种方法；则不同的放球方法有10
45种，选A．
说明：元素多，取出的情况也多种，可按要求分成互不相容的几类情况分别计算，最后总计。 （四）、元素交叉问题集合法（二元否定问题，依次分类）
例12、从6名运动员中选出4名参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法？
解：设全集U={6人中任选4人参赛的排列}，A={甲跑第一棒的排列}，B={乙跑第四棒的排列}，根据求集合元素的个数的公式可得参赛方法共有：card(U)-card(A)-card(B)+card(A∩B)=252
例13、某天的课表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共六门课程，且上午安排四节课，下午安排两节课。
（1）若第一节不排体育，下午第一节不排数学，一共有多少种不同的排课方法？ （2）要求数学、物理、化学不能排在一起（上午第四节与下午第一节不算连排），有多少种不同的排课方法？
例14、同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ ） A、6种 B、9种 C、11种 D、23种
解：此题可以看成是将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一数，且每个方格的标号与所填数字不同的填法问题。所以先将1填入2至4的3个方格里有3种填法；第二步把被填入方格的对应数字填入其它3个方格，又有3种填法；第三步将余下的两个数字填入余下的两格中只有一种填法，故共有3×3×1=9种填法。故选B
说明：求解二元否定问题先把某个元素按规定排入，再排另一个元素，如此继续下去，依此即可完成。
例15、安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是 .(用数字作答) 。（答：78种）
说明：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素的个数的公式来求解。 （五）、多排问题单排法
例16、两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，若8名学生入座（每人一座位），则不同的座法为（ ）