发布时间 : 星期日 文章河南省洛阳市2016-2017学年高二数学下学期期末试卷 理(含解析)更新完毕开始阅读c744156e854769eae009581b6bd97f192279bfab
∴an=?…?=?…??1=．
（2）证明：bn=a2n﹣1a2n+1=数列{bn}的前n项和为Tn==
即Tn＜．
．
=
+…+
．
【点评】本题考查了数列递推关系、“累乘求积”方法、裂项求和方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（12分）（2017春?洛阳期末）第35届牡丹花会期间，我班有5名学生参加志愿者服务，服务场所是王城公园和牡丹公园．
（1）若学生甲和乙必须在同一个公园，且甲和丙不能在同一个公园，则共有多少种不同的分配方案？
（2）每名学生都被随机分配到其中的一个公园，设X，Y分别表示5名学生分配到王城公园和牡丹公园的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ） 【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列． 【分析】（1）由题意可得：共有2
种不同的分配方案．
（2）对于两个公园分配人数分别为：0，5；1，4；2，3；3，2；4，1；5，0．可得ξ=|X﹣Y|的取值分别为：1，3，5．于是P（ξ=1）=
，P（ξ=3）=
，P（ξ=5）
=．
【解答】解：（1）学生甲和乙必须在同一个公园，且甲和丙不能在同一个公园，则共有2
=6种不同的分配方案．
（2）对于两个公园分配人数分别为：0，5；1，4；2，3；3，2；4，1；5，0． ∴ξ=|X﹣Y|的取值分别为：1，3，5．
∴P（ξ=1）=可得ξ分布列：
ξ P ∴Eξ=1×+2×
==，P（ξ=3）===，P（ξ=5）===．
1 +3×
=
．
3 5 【点评】本题考查了随机变量的分布列及其数学期望、组合数的计算公式、分类讨论方法、古典概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（12分）（2017春?洛阳期末）如图，已知矩形BB1C1C所在平面与底面ABB1N垂直，在直角梯形ABB1N中，AN∥BB1，AB⊥AN，CB=BA=AN=BB1． （1）求证：BN⊥平面C1B1N； （2）求二面角C﹣C1N﹣B的大小．
【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）证明BC⊥平面ABB1N，建立空间坐标系，利用向量证明BN⊥NB1，NB⊥B1C1，故而得出结论；
（2）求出两平面的法向量，计算法向量的夹角即可得出二面角的大小． 【解答】（1）证明：∵四边形BB1C1C是矩形，∴BC⊥BB1，
∵平面BB1C1C⊥底面ABB1N，平面BB1C1C∩底面ABB1N=BB1，BC?平面BB1C1C， ∴BC⊥平面ABB1N，
以B为原点，以BA，BB1，BC为坐标轴建立空间直角坐标系B﹣xyz，
设AB=1，则B（0，0，0），N（1，1，0），B1（0，2，0），C1（0，2，1），C（0，0，1） ∴
=（1，1，0），
=（﹣1，1，0），
=（0，0，1），
∴=﹣1+1=0， =0，
∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1，又NB1∩B1C1=B1， ∴BN⊥平面C1B1N． （2）解：
=（﹣1，1，1），
=（﹣1，﹣1，1），
，
=（0，2，0）， =0，
设平面BNC1的法向量为=（x，y，z），则∴
，令x=1得=（1，﹣1，2），
同理可得平面CNC1的法向量为=（1，0，1）， ∴cos＜
＞=
=
．
∴二面角C﹣C1N﹣B的大小为30°．
【点评】本题考查了线面垂直的判定，空间向量在立体几何中的应用，空间角的计算，属于中档题．
21．（12分）（2017春?洛阳期末）已知椭圆C的方程为
+
=1（a＞b＞0），双曲线
﹣=1的一条渐近线与x轴所成的夹角为30°，且双曲线的焦距为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F1，F2分别为椭圆C的左，右焦点，过F2作直线l（与x轴不重合）交于椭圆于A，B两点，线段AB的中点为E，记直线F1E的斜率为k，求k的取值范围．
【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）由双曲线的渐近线方程及斜率公式，即可求得a=3b，c=2即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）设直线AB的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理求得斜率丨k丨用t表示，利用基本不等式即可求得k的取值范围．
【解答】解：（1）由一条渐近线与x轴所成的夹角为30°，则=tan30°=由2c=4
．c=2
，则a+b=8，
2
2
2
2
，即a+b=8，
22
，即a=3b，
22
解得：a2=8，b2=2， ∴椭圆的标准方程：
；
（2）由（1）可知：F2（2，0），直线AB的方程：x=ty+2，A（x1，y1），B（x2，y2），
，整理得：（t2+3）y2+4ty﹣2=0，
y1+y2=﹣则E（
，x1+x2=，﹣
， ），
由F1（﹣2，0），则直线F1E的斜率k==﹣，
①当t=0时，k=0， ②当t≠0时，丨k丨=
=
≤
，
即丨k丨∈（0，∴k的取值范围[﹣
]， ，
]．