发布时间 : 星期一 文章柯西留数定理及其应用更新完毕开始阅读c773e9b4a0116c175f0e48e7
?例3 求积分I??解 因为
0????x2z2?. dx?2?iRes?2222(x?a)(z?a)2a??x2dx的值. 22(x?1)(x?4)I?1??dx 22???2(x?1)(x?4)由定理1知道
I?1??dx?. ?22???2(x?1)(x?4)63、计算?????P(x)imxedx型积分 Q(x)引理2?2? 设函数g(z)沿半圆周?R:z?Rei?(0????,R充分大)上连续,且
R???limg(z)?0在?R上一致成立,则limR????R?g(z)eimzdz?0 (m?0).
该引理也称为若尔当引理,应用上述引理,和证明定理1一样,可得: 定理2?3? 设g(z)?P(z),其中P(z)及Q(z)是互质多项式,且符合条件: Q(z)（1）Q(z)的次数比P(z)的次数高; （2）在实轴上Q(z)?0; （3）m?0; 则有
?????g(x)eimxdx?2?i?Res[g(z)eimz].
Imakz?ak????P(x)P(x)cosmxdx和?sinmxdx??Q(x)Q(x)将上述式子的实虚部分开,可以得到形如???的积分.由数学分析中的结论,可知上面两个反常积分都存在,其值就是柯西主值.
例4 计算积分?解 因为f(z)?????xcosxdx. 2x?7x?10z在上半平面x2?5内无奇点,在实轴上只有两个一级
z2?7z?10 9
极点x1?2,x2?5. 于是
?所以
????zeiziziz??dz??iRes?f(z)e,2?Resf(z)e,5?2????, z?7z?10???????xcosx2i5i?dx?Res?i(?2e?5e)???(2sin2?5sin5). 2??x?7x?10cosxdx.
??1?x2??例5 计算积分?解 因为被积函数为偶函数, 故
?根据定理4得
????0cosx1??cosxdx?dx， 22???1?x21?x?eiz?eixe?1?1dx?2?iRes， ?2?i??e??2???1?x2z?i2i?1?z?于是有
??cosxcosx??1?1和dx??edx????1?x2?01?x22e. ??4、计算???0R(x)lnxdx型积分
计算此种类型的积分,其主要方法是?4?:设R(x)是有理函数,且分子比分母至少低二次,设函数F(z)?R(z)(lnz)2.将复平面沿正实轴(包括原点)作支线割开,得其单位值域D,取lnz在正实轴上为实值的分枝,其对应F(z)记为f(z)?R(z)(lnz)2,若zk是R(z)(lnz)2在D内的各个极点,则:
???01?n?2?R(x)lnxdx??Re??Res?R(z)(lnz),zk?? ① ?2?k?1???0例6 计算?lnxdx的值. (1?x)412,显然f(z)在z??1处有四阶极点, (lnz)4(1?z)解 设辅助函数f(z)? 10
其留数为
?(lnz)2?2Res?,?1?1??i. ?43?(1?z)?根据公式①即得
???0lnx11?2?1. dx??ReResf(z),?1??Re1??i????????(1?x)422?3?2 通过上述的一些实例可以看出,应用柯西留数定理计算某些类型实函数的积分,其大概思想是?5?:为了求实函数f(x)在实轴或者实轴上的某一段L上的积分,我们要适当增加某一曲线使其构成一简单闭曲线C,其内部为D,选取合适的函数f(z),然后对f(z)应用柯西留数定理,就大大简化了计算问题.
（三）在级数求和中的应用
设R(z)是分子次数比分母至少低两次的有理函数,且其极点z1,z2,?,zn都不为整数,则有
k????R(k)????Res??R(z)cot(?z),zj?1??nj??;
k????(?1)??kR(k)????Res??R(z)csc(?z),zj??
j?1n例1
?6? 求级数?cosn的和. 24n(n?4)n?1??解 设f(z)?cosz,则f(z)有一个一阶极点0和四个一阶极点:
z2(z4?4)c1?2,c2??2,c3?i2,c4??i2.
由文献[6]中的一个公式（6）得
?zcosz??2?d?cot(?z)???z4?4???????42cosn1?dz??lim??lim?cot(?z)(z?cm)f(z)??24z?cm? 2?z?02!n?1n(n?4)m?1??????1?2???cosh2coth(2?)?cos2cot(2?)? ???. ??1624162 11
例2
?6? 求级数?1的和.
n(n?1)n?1??解 因为
n???n?0,?1?????????111, ????n(n?1)n?1n(n?1)n??2n(n?1)??????1111, ???????n(n?1)?n(?n?1)n(n?1)n(n?1)n??2n?2n?2n?1所以
11??1. ???2n???n(n?1)n?1n(n?1)n?0,?1??设f(z)?二阶极点，
从而有
1，显然f(z)有一阶极点0和-1，且都是F(z)??cot(?z)f(z)的
z(z?1)?所以
cnF(z)dz?2?i(j???j?0,?1?ResF(z)?ResF(z)?ResF(z)),
z?jz?0z??1????11????f(n)??f(n) ?2n???n?1n(n?1)n?1n?0,?1???z?z?1????d?cot(?z)d?cot(?z)???1?z?1?z?????? ?lim ???limz?0z??12?dzdz????? ?1.
（四）柯西留数定理的推广应用
这里有必要对推广的柯西留数定理稍作陈述,其定义如下:
推广的留数定理?7? 设f(z)在D内解析,在D上有极点z1,z2,?,zn(其中有些可能在?上),此外,在D上f(z)除去?上有限个点处有奇异性外,处处连续,则
12