解析几何,吕林根,课后习题解答一到五 联系客服

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4、设动点与(4,0,0)的距离等于这点到平面x?1的距离的两倍,试求这动点的轨迹。 解:

x2y2z2???1与平面x?2z?3?0的交线对xoy平面的射影柱面。 5、试求单叶双曲面

1645解:

6、设直线l与m为互不垂直的两条异面直线,C是l与m的公垂线的中点,A,B两点分别在直线l,m上滑动,且?ACB?90,试证直线AB的轨迹是一个单叶双曲面。 证明: :

z ? l ?A(x1,y1,c) O y x ?

7、试验证单叶双曲面与双叶双曲面的参数方程分别为:

? m?x?asecucosv??y?bsecusinv 与 ?z?ctgu?解:

?x?atgucosv??y?btgusinv ?z?csecu?

§ 4.6抛物面

1、已知椭圆抛物面的顶点在原点,对称面为xoz面与yoz面,且过点(1,2,6)和(,?1,1),求这个椭圆抛物面的方程。 解:

2、适当选取坐标系,求下列轨迹的方程:

(1)到一定点和一定平面距离之比为定常数的点的轨迹; (2)与两给定的异面直线等距离的点的轨迹,已知两异面直线间的距离为2a,夹角为2?。 解:

3、画出下列方程所代表的图形:

13?x?y2?z2x2y2??z?1;(1)(2)z?xy;(3)? 49?z?2

4、画出下列各组曲面所围成的立体的图形:

(1)y?0,z?0,3x?y?6,3x?2y?12,x?y?z?6

22(2)x?y?z,三坐标平面,x?y?1;

(3)x?y?z2,1y?x,y?1 22222(4)x?y?1,y?z?1

解:

5、试验证椭圆抛物面与双曲抛物面的参数方程可分别写成:

??x?aucosv??y?businv 与 ?1?z?u22?式中的u,v为参数。 解:

?x?a(u?v)??y?b(u?v) ?z?2uv?§ 4.7单叶双曲面与双叶双曲面的直母线

1、 求下列直纹面的直母线族方程:

222(1)x?y?z?0 (2)z?axy

解:

2、 求下列直线族所成的曲面(式中的?为参数)

?x?2?y?4z?4?x??2yz????(1); (2)? 1?10??x?2y?4?z?4解:

x2y2??z上,求平行于平面3x?2y?4z?0的直母线。 3、在双曲抛物面164解:

x2y2z24、试证单叶双曲面2?2?2?1的任意一条直母线在xoy面上的射影,一定是其腰圆

abc的切线。

证明:

5、求与两直线

x?6yz?1xy?8z?4与?相交,而且与平面2x?3y?5?0平???32132?21行的直线的轨迹。

解:

6、求与下列三条直线

?x?1, ?y?z??x??1x?2y?1z?2 与 ????345y??z?都共面的直线所构成的曲面。

解:

7、试证明经过单叶双曲面的一 直母线的每个平面一定经过属于另一族直母线的一条直母线,并举一反例,说明这个命题与双曲抛物面的情况下不一定成立。 证明: