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格林公式及其应用
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§10.3 格林公式及其应用
一、格林公式
一元微积分学中最基本的公式 — 牛顿、莱布尼兹公式
表明：函数
在区间
上的定积分可通过原函数
在这
个区间的两个端点处的值来表示。
无独有偶,在平面区域界曲线
上的二重积分也可以通过沿区域
的边
上的曲线积分来表示,这便是我们要介绍的格林公式。
b5E2RGbCAP 1、单连通区域的概念
设则称
为平面区域,如果
内任一闭曲线所围的部分区域都属于
,
为平面单连通区域；否则称为复连通区域。
通俗地讲,单连通区域是不含“洞”(包括“点洞”>与“裂缝”的区域。
2、区域的边界曲线的正向规定
设是平面区域这个方向行走时,p1EanqFDPw 的边界曲线,规定的正向为:当观察者沿的内位于他附近的那一部分总在他的左边。
简言之:区域的边界曲线之正向应适合条件,人沿曲线走,区域在左手。 3、格林公式 【定理】设闭区域
在
由分段光滑的曲线
围成,函数
及
上具有一阶连续偏导数,则有
(1>
其中是
的取正向的边界曲线。
公式(1>叫做格林(green>公式。
【证明】先证
假定区域的形状如下(用平行于轴的直线穿过区域,与区域边
界曲线的交点至多两点>
易见,图二所表示的区域是图一所表示的区域的一种特殊情况,我们仅对图一所表示的区域给予证明即可。
另一方面,据对坐标的曲线积分性质与计算法有