发布时间 : 星期三 文章（全国通用）2018高考数学一轮复习 第9章 算法初步 - 统计与统计案例 第4节 变量间的相关关系更新完毕开始阅读c835424c970590c69ec3d5bbfd0a79563d1ed45b
C．丙 D．丁
D [在验证两个变量之间的线性相关关系时，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，在四个选项中只有丁的相关系数最大；残差平方和越小，相关性越强，只有丁的残差平方和最小，综上可知丁的试验结果体现了A，B两变量有更强的线性相关性．]
(单位：亿吨)的折线图．
线性回归方程及应用 (2016·全国卷Ⅲ)如图9-4-3是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量
图9-4-3
注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
参考数据：∑ yi＝9.32，∑ tiyi＝40.17，i＝1
i＝1
7
7
∑
i＝1
7
yi－y2
＝0.55，7≈2.646.
∑
参考公式：相关系数r＝
i＝1nnti－tn2
yi－y
∑
i＝1
∑ ti－ti＝1
n^^^
，回归方程y＝a＋bt中斜
yi－y2
∑ ti－t^i＝1
率和截距的最小二乘估计公式分别为b＝
∑
i＝1nyi－y^－^
，a＝y－bt.
2
ti－t[解] (1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得 2
t＝4，∑ (ti－t)＝28，i＝1
7
7
7
∑
i＝1
7
7
yi－y2
＝0.55，2分
∑i (t t yi＝40.17－4×9.32＝2.89， i－t)(yi－y)＝∑iyi－t∑＝1
i＝1
i＝1
2.89所以r≈≈0.99.
0.55×2×2.646
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.5分
9.32
(2)由y＝≈1.331及(1)得
7 ∑ ^
7
ti－t
∑
i＝17
yi－y2
b＝
i＝1
ti－t2.89
＝≈0.103.8分 28
^
a＝y－bt≈1.331－0.103×4≈0.92.
^
所以y关于t的回归方程为y＝0.92＋0.10t.10分
^
将2016年对应的t＝9代入回归方程得y＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨.12分
[规律方法] 1.在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，也可计算相关系数r进行判断．若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．
^^
2．(1)正确运用计算b，a的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键．(2)回归直^^^
线y＝bx＋a必过样本点的中心(x，y)．
[变式训练2] (2014·全国卷Ⅱ)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入
^
y(单位：千元)的数据如下表：
年 份 年份代号t 人均纯收入y 2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9 (1)求y关于t的线性回归方程； (2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
n∑ ^
ti－tn－
yi－y－
2
－
^－^－
，a＝y－bt.
b＝i＝1
∑
i＝1
ti－t－1
[解] (1)由所给数据计算得t＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
7
－1
y＝(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，
7－2
∑ (ti－t)＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，3分
i＝17
－－
∑ (ti－t)(yi－y)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋
i＝1
7
1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，
7
∑ ^
ti－t7
－
yi－y－
2
－
14
＝＝0,5， 28
b＝i＝1
∑
i＝1
ti－t^
a＝y－bt＝4.3－0.5×4＝2.3，
^
所求回归方程为y＝0.5t＋2.3.6分
^
(2)由(1)知，b＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元.9分
将2015年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，得 ^
－^－
y＝0.5×9＋2.3＝6.8，
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.12分
独立性检验 (2017·郑州调研)某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500
人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．
(1)应收集多少位女生的样本数据？
(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图9-4-4所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；
【导学号：31222369】
图9-4-4
(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
P(K2≥k0) k0 附：K＝
2
0.10 2.706 0.05 3.841 0.010 6.635 0.005 7.879 a＋bnad－bc2c＋da＋cb＋d. 4 500
[解] (1)利用分层抽样，300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据.4分
15 000(2)由频率分布直方图得1－2×(0.025＋0.100)＝0.75.所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.8分
(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时.10分
又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：
每周平均体育运动时间与性别列联表
每周平均体育运动时间不超过4小时 每周平均体育运动时间超过4小时 总计 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K观测值 2男生 45 165 210 女生 30 60 90 总计 75 225 300 k＝
－
75×225×210×90
2
＝
100
≈4.762＞3.841. 21
所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.12分 [规律方法] 1.在2×2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad－bc≈0.|ad－bc|越小，说明两个变量之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明两个变量之间关系越强．
2．解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论．独立性检验的一般步骤：
(1)根据样本数据制成2×2列联表； (2)根据公式K＝
2
a＋bnad－bc2a＋cb＋dc＋d计算K的观测值k；
2
(3)比较k与临界值的大小关系，作统计推断．
[变式训练3] (2017·济南联考)某市地铁即将于2017年6月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度如下；