发布时间 : 星期六 文章高考数学难点突破 - 难点07 - - 奇偶性与单调性（一）更新完毕开始阅读c8494927ec06eff9aef8941ea76e58fafab045ce
难点7 奇偶性与单调性(一)
函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.
●难点磁场
exa(★★★★)设a>0,f(x)=是R上的偶函数，(1)求a的值；(2)证明： f(x)在(0，+?aex∞)上是增函数.
●案例探究
［例1］已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f(意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(
1)=－1,当且仅当0 命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属★★★★题目. 知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想. 错解分析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得. 技巧与方法：对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定的范围是焦点. x2?x11?x1x2x?xx?y),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.1?xy1?x2∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数. (2)先证f(x)在(0，1)上单调递减. 证明：(1)由f(x)+f(y)=f( 令0 x2?x1) 1?x1x2∵0 x2?x1>0, 1?x2x1x2?x1x?x1<1,由题意知f(2)<0 1?x2x11?x1x2 即f(x2) ∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0. ∴f(x)在(－1，1)上为减函数. ［例2］设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增， f(2a2+a+1) 1a2?3a?1)的单调递减区2命题意图：本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法.本题属于★★★★★级题目. 知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题. 错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱. 技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法. 解：设0 1712又2a2?a?1?2(a?)2??0,3a2?2a?1?3(a?)2??0. 4833由f(2a2+a+1) 35又a2－3a+1=(a－)2－. 24123∴函数y=()a?3a?1的单调减区间是［，+∞］ 22323结合0 22●锦囊妙计 本难点所涉及的问题及解决方法主要有： (1)判断函数的奇偶性与单调性 若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性. 若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性. 同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的“磁场”及“训练”认真体会，用好数与形的统一. 复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握基本函数. (2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目，下一节我们将展开研究奇偶性、单调性的应用. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)下列函数中的奇函数是( ) x?1A.f(x)=(x－1) 1?x2??x?x(x?0)C.f(x)=? 2???x?x(x?0) lg(1?x2)B.f(x)=2 |x?2|?2D.f(x)= 1?sinx?cosx 1?cosx?sinx2.(★★★★★)函数f(x)=A.关于x轴对称 1?x2?x?11?x?x?1 2的图象( ) B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线x=1对称 二、填空题 3.(★★★★)函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_________. 4.(★★★★★)若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0 三、解答题 x?2 (a>1). x?1(1)证明：函数f(x)在(－1，+∞)上为增函数. (2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根. 5.(★★★★)已知函数f(x)=ax+ x36.(★★★★★)求证函数f(x)=2在区间(1，+∞)上是减函数. (x?1)27.(★★★★)设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足：(i)f(x1－x2)= f(x1)?f(x2)?1； f(x2)?f(x1)(ii)存在正常数a使f(a)=1.求证： (1)f(x)是奇函数. (2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a. 8.(★★★★★)已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且 f(－ 11)=0,当x>－时，f(x)>0. 22(1)求证：f(x)是单调递增函数； (2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证. 参考答案 难点磁场 exa11?x?x+aex.整理，得(a－) (1)解：依题意，对一切x∈R,有f(x)=f(－x),即 aeaae(ex－ 112 )=0.因此，有a－=0,即a=1,又a>0,∴a=1 aex111x2x1??(e?e)(?1) ex1ex2ex1?x2(2)证法一：设0＜x1＜x2,则f(x1)－f(x2)=ex1?ex2?x1x2?x1?e(e1?ex1?x2?1)x?x e12由x1>0,x2>0,x2>x1,∴ex2?x1?1>0,1－ex1?x2＜0, ∴f(x1)－f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2) ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数 －－－－证法二：由f(x)=ex+ex，得f′(x)=ex－ex=ex·(e2x－1).当x∈(0,+∞)时，ex>0,e2x－1>0. 此时f′(x)>0,所以f(x)在［0，+∞)上是增函数. 歼灭难点训练 22??x?x (x?0)???(x?x) (x?0)一、1.解析：f(－x)=? =－f(x)，故f(x)??22???x?x (x?0)???(?x?x) (x?0)为奇函数. 答案：C 2.解析：f(－x)=－f(x),f(x)是奇函数，图象关于原点对称. 答案：C 二、3.解析：令t=|x+1|,则t在(－∞,－1]上递减，又y=f(x)在R上单调递增，∴y=f(|x+1|)在(－∞,－1]上递减. 答案：(－∞,－1] 4.解析：∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x－x1)(x－x2)=ax3－a(x1+x2)x2+ax1x2x， ∴b=－a(x1+x2),又f(x)在［x2,+∞)单调递增，故a>0.又知0＜x1＜x,得x1+x2>0, ∴b=－a(x1+x2)＜0. 答案：(－∞,0） 三、5.证明：(1）设－1＜x1＜x2＜+∞,则x2－x1>0, ax2?x1>1且ax1>0, ∴ax2?ax1?ax1(ax2?x1?1)>0,又x1+1>0,x2+1>0 ∴ x2?2x1?2(x2?2)(x1?1)?(x1?2)(x2?1)3(x2?x1)>0, ???x2?1x1?1(x1?1)(x2?1)(x1?1)(x2?1)x2?2x1?2 >0 ?x2?1x1?1于是f(x2)－f(x1)=ax2?ax1+ ∴f(x)在(－1，+∞）上为递增函数. (2）证法一：设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)=0,则ax0??x0?2且由0＜ax0＜1得0＜x0?1－ x0?21＜1,即＜x0＜2与x0＜0矛盾，故f(x)=0没有负数根. x0?12证法二：设存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)=0,若－1＜x0＜0,则 x0?2＜－2,ax0＜1,∴f(x0)＜x0?1－1与f(x0)=0矛盾，若x0＜－1,则没有负数根. 6.证明：∵x≠0,∴f(x)= x0?2 >0, ax0>0，∴f(x0)>0与f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0x0?1 111??, (x2?1)2x(x2?1)2x(1?1)2x2x3x42设1＜x1＜x2＜+∞,则 1x2?1x12?1,1?1x22?1?1x12?0. ?x2(1?1x22)?x1(1?21x12)?0.?21x2(1?1x22?)21x1(1?1x12 )2∴f(x1)>f(x2),f(x)在(1，+∞）上是减函数.(本题也可用求导方法解决） 7.证明：(1）不妨令x=x1－x2,则f(－x)=f(x2－x1)==－f(x1－x2)=－f(x).∴f(x)是奇函数. (2）要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a). ∵f(x+a)=f［x－(－a)］= f(x2)f(x1)?1f(x1)f(x2)?1 ??f(x1)?f(x2)f(x2)?f(x1)f(?a)f(x)?1?f(a)f(x)?1f(x)?1??(f(a)?1). f(?a)?f(?x)?f(a)?f(x)f(x)?1f(x)?1?1f(x?a)?1f(x)?11 ?f(x?2a)?f[(x?a)?a]????f(x)?1f(x?a)?1f(x).?1f(x)?11∴f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］==f(x),故f(x)是以4a为周期的周期函数. ?f(x?2a)111>－,由题意f(x2－x1－)>0, 222∵f(x2)－f(x1)=f［(x2－x1)+x1］－f(x1)=f(x2－x1)+f(x1)－1－f(x1)=f(x2－x1)－1=f(x2－x1)+f(－11)－1=f［(x2－x1)－］>0, 22∴f(x)是单调递增函数. (2)解：f(x)=2x+1.验证过程略. 8.(1）证明：设x1＜x2,则x2－x1－