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数学建模实验4
1、上机实现蒙特卡洛随机方法计算圆周率近似值的程序，并对计算结果作出分析。
可以采用蒲丰投针的方法计算π的值： 解答过程：
（1） 蒲丰投针问题：在平面上画一些平行线，使他们的间距都为a，向此平面
2l投一长度为l的针（l a?= 2l。利用该方法可以计算π的值，具体方法是：投针N次，算出与平apn，带入上式可以计算出π的值。 N（2） 用Matlab软件进行模拟实验，即用Matlab编写程序来进行“蒲丰投针实 验”。基本原理：由于针投到平面上时有各种不同的方向和位置，但是每一次投针时，其位置和方向都可以用两个量来唯一确定，就是针的中点和偏离的水平的角度，于是我们可以生成两个n*1的随机矩阵，分别设为x和y，x表示此时针的中点位置，y表示此时针偏离水平方向的角度，当x<0.5*l*sin(y)时可以认为针和横线相交，只要随机产生n对这样的x,y就可以模拟n次投针试验，然后统计x<0.5*l*sin(y)时x的个数，就可以认为是相交的次数，然后利用公式来计算。 （3） Matlab编程 function PI=P_Buffon(a,l,n); If l>a error return ;end; x=unifrnd(0,a/2,[n,1]); f=unifrnd(0,pi,[n,1]); m=sum(y) PI=vpa(2*l*n/(a*m)); (4)计算结果分析： 实验数据如下 L a 投针次数 相交次数 π的值 0.5 1 10000 3080 3.24653 100000 31570 3.16756 1000000 318125 3.14342 5000000 1590912 3.14285 0.55 1 5000000 1749593 3.14359 0.6 5000000 1908733 3.14345 0.65 5000000 2070039 3.140037 0.7 5000000 2227800 3.142113 0.75 5000000 2387434 3.141448 0.8 5000000 2547718 3.140064 行线相交的n次，p= 1）由数据可以看出，当l和a为定值，而次数改变时，相交次数也会改变，相交次数与投掷次数有个近似的线性关系，这个关系就是P，即相交的概率，但是n越大，对结果只是变化减小，n越大，并不会使得结果越准确。 2）由上面的实验数据第二部分可知，当间距和n（投掷次数）不变时，针长越大或是越小，都会越偏离π的真实值，一般来说，a可能在[0.65*l,0.8*l]之间时，会接近真实结果一些 2、甲，乙两公司通过广告来竞争销售商品的数量，广告费用分别是x和y。设甲乙公司商品的销售量中占的份额，是它们的广告费中所占的份额的函数 ?x??y???f?和f?x?y??x?y??.又设公司的收入与售量成正比，从收入中扣除广告费即为????公司的利润。试构造模型的图形，并讨论甲公司怎么确定广告费才能使利润最大。 x，则f(t)+f(1-t)=1.画出f(t)的示意图。 x?y（1）令t= （2）写出甲公司利润的表达式p(x).对于一定的y,使p(x)最大的x的最优值应满足什么关系。用图解法确定这个最优值。 解答过程： （1）由f(t)+f(1-t)=1可得：f(t)是以（1/2,1/2）为中心对称图形。如图所示 其中设实线曲线为f(t)函数的图像。 x)-x,a为常数，下面求p(x)的最大值的x?y（2）设甲公司的利润为p(x)=af(最大值点x*： y?1?由p’(x)=0可得f’(x*)=??,记c是任意常数，则曲线g(t)与f(t) a?1?t*?* 2x* 相切的那条曲线为的切点坐标为t,则t=*，如图所示： x?y * * x,在曲线上找一点M,使其横坐标x*>y,使过M点的切a* 线平行于h(x),x即为所求，如图所示： 在f(t)~t图形中作h(x)=