发布时间 : 星期三 文章湖南省长沙一中2017届高三月考(二)数学(理)试卷 (1)更新完毕开始阅读c894fb72fd4ffe4733687e21af45b307e971f93c
炎德英才大联考·长沙一中2017届高三月考试卷（二）
数学（理科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。）
1、已知集合M=xy?3x?1，N=xy?log2x?2xA、?,????2??，则M?N=（ ）A
1??1?11??? B、??,??,??????? 3232???????1??1?C、?0,? D、???,0???,???
?2??2?22、命题：“?x?R，使x?4x?1?0”的否定是（ ）D
22A、?x?R，x?4x?1?0 Ｂ、?x?R，x?4x?1?0
22C、?x?R，x?4x?1?0 D、?x?R，x?4x?1?0
?x?y?1?0?3、若实数x,y满足：?x?y?0，则z?x?2y的最大值为（ ）D
?x?0?
A、0 B、1
C、3 D、2
【解析】如图，画出满足条件的可行域，当目标函数所对应的 直线过点A?0,1?时，zmax?2，则z?x?2y的最大值为2。
（或者通过比较可行域各顶点所对应的目标函数值的大小可得答案2。）
B y A 1 ?1 O X ?????1?4、已知向量a??1,1?cos??，b??1?cos?,?，且a∥b，则锐角?=（ ）B
2??????A、30 B、45 C、60 D、75
??112【解析】∵a∥b，∴?1?cos???1?cos???，即sin??，
222?又∵?为锐角，所以sin??，??45。故选B。
开始 25、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）C
A、14 B、20 C、30 D、55 【解析】根据框图，可得S?1?2?3?4?30。故选C。 6、已知0?a?b，且a?b?1，则下列不等式正确的是（ ）C
A、log2a?1 B、log2a?log2b??2
2222S=0, i=1 S=S+i2 i=i+1 i>4? 是 输出S 结束 否 ?ba?C、log2?b?a??0 D、log2????1
?ab?1?b?1， 2ba?ba?所以①log2a??1?0，A错；②??2?log2????1，D错；
ab?ab?【解析】根据0?a?b，且a?b?1，可得0?a?21?11?③ab?a?1?a????a?????log2a?log2b?log2?ab???2，B错。故选C。
2?44?7、已知数列?an?满足：a1?1，a2?a（a?1），an?2?an?1?an，当a4?1时，a10的值为（ ）C
A、0 B．1 C、0或1 D、?1
【解析】∵a?1，an?2?an?1?an，a1?1，a2?a，所以a3?a2?a1?a?1?1?a，
a4?a3?a2?1?2a，由题设知a4?1?2a?1，所以a?1，或a?0。
无论a?1，还是a?0，都有an?3?an成立，于是a10?a7?a4?1。
8、将5名同学分到甲、乙、丙三个小组，若甲组至少两人，乙、丙两组每组至少一人，则不同的分配方案共有（ ）种A
A、80种 B、120种 C、140种 D、50种
32【解析】①甲组有3人时，乙、丙两组每组1人，有C5A2?20种；②甲组有2人时，乙、丙两组中有22一组2人，另一组1人，有C5?C3?2?60种。一共有80种不同的分配方案，选A。
9、正方形ABCD的边长为a，依次连结正方形各边中点得到一个新 正方形，再依次连结新正方形各边中点又得到一个新正方形，??， 依次得到一系列的正方形，如图所示。
现有一只小虫从A点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每 遇到新正方形的顶点时，沿这个新正方形的边逆时针爬行，如此下去， 爬行了10条线段。则这10条线段长度的平方和为（ ）A
D
C
1023210232a B、a 2048768511220472a D、a C、
10244096A、
10、已知函数f?x??sin2x?23cos2x?3，函数g?x??mcos?2x?A
B
??????2m?3（m?0），若6????????x1??0,?，总?x2??0,?，使得g?x1??f?x2?成立，则实数m的取值范围为（ ）B
?4??4??24??4??3?A、?1,2? B、?1,? C、?,2? D、?,?
?33??3??2???????，当x?0,?时，f?x???1,2?； ??3???4?????????1?????而当x??0,?时，2x????,?，cos?2x????,1?，
6?63?6??2???4?????3?又m?0，所以g?x??mcos?2x???2m?3??3?m,3?m?；
6???2??3?m?24??3?要使条件满足，必须且只需使?3?m,3?m???1,2?，即?，解得1?m?。 m33??1?2???2【解析】因为f?x??sin2x?23cos2x?3?2sin?2x?请将各小题唯一正确答案的代号填入下表的相应位置：
题 号 答 案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。）
11、已知复数z满足z?1?i??2（其中i为虚数单位），则z= ；1?i
312、在?1?ax??1?x?的展开式中，x项的系数为?16，则实数a的值为 ；2或3
26
13、向平面区域????x,y????4?2率为 ；
??x???,0?y?1?内随机投掷一点，则该点落在曲线y?cos2x下方的概4?????????????????????14、已知O是△ABC所在平面内一点，且满足OB?OC?OB?OC?2OA，若AB?2，AC?3，
则△ABC的外接圆的面积为 ；
7? 4x12；函数
15、设f?x?是R上的偶函数，且当x?0时，f?x??2?2x则：（1）函数g?x?的零点个数为 ；2
g?x??ln?x?1??2。 x（2）若实数a是函数g?x?的正零点，则f??2?与f?a?的大小关系为 。f?a? （∵g?1?g?2???ln2?2??ln3?1??0），由题设知a??1,2?； 对f?x?，在x?0时，直接求导得f＇?x??2ln2?x1；易知当x?1时，f＇?x??2ln2?1?0， x所以函数f?x?在?1,???上单调递增，从而f?a??f?2?成立。 又函数为偶函数，故f?a? 三、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） ??16、（本小题满分12分）已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若m=?cosB,sinC?， ???1?n=?cosC,?sinB?，且m?n?。 2（Ⅰ）求A； （Ⅱ）若a?23，三角形的面积S?3，求b?c的值。 ???1【解析】（Ⅰ）依题设，m?n?cosBcosC?sinBsinC?， 211 即cos?B?C??，亦即cos???A???cosA?， 2212?所以cosA??；又A??0,??，故A?。 …………………6分 23112?3?bc?3，∴bc?4； （Ⅱ）由题设及（Ⅰ）的结果，S?bcsinA?bcsin223422222又由余弦定理，可得a?b?c?2bccosA?b?c?bc， 222于是?b?c??b?c?2bc?a?bc?12?4?16，故b?c?4。 …………………12分 2 17、（本小题满分12分）国家统计局对某门户网站的访问量与广告收益进行统计评估，从该网站近三年中随机抽取100天，访问量的统计结果（单位：万次）如表所示： 访问量 频 数 500 50 600 30 700 20 （Ⅰ）根据上表的统计结果，求访问量分别为500万次，600万次，700万次的频率； （Ⅱ）已知每100万次的访问量能使该网站获得广告收益5万元，用?表示该网站两天的广告收益（单位：万元），假设每天的访问量相互独立，求?的分布列和数学期望。 【解析】（Ⅰ）依题设，访问量分别为500万次，600万次，700万次的频率分别为 5030?0.5，?0.3， 10010020?0.2。 ………………………4分 100（Ⅱ）由题设知访问量分别为500万次，600万次，700万次的广告收益是25万元，30万元，35万元，相应的，?的允许值为50，,55,60,65,70. ………………………5分 并且由题设中“每天的访问量相互独立”可知：P???50??0.52?0.25，P???55??2?0.5?0.3?0.3， P???60??0.32?2?0.2?0.5?0.29，P???65??2?0.2?0.3?0.12，P???70??0.22?0.04。 于是，所求随机变量?的分布列为： ? P 50 0.25 55 0.3 60 0.29 65 0.12 70 0.04 …………………11分 其期望E??50?0.25?55?0.3?60?0.29?65?0.12?70?0.04?57（万元）。 …………………12分 223n?2）。 18、（本小题满分12分）已知正项数列?an?的前n项和为Sn，满足a1?1，Sn?Sn?1?an（（Ⅰ）求证数列?an?为等差数列，并求出其通项公式； （Ⅱ）对于数列?an?，在每两个ak与ak?1之间都插入k（k?N?）个2，使数列?an?变成一个新数列?tm?，数列?tm?的前m项和为Tm，若Tm?2014，求m的最小值。 【解析】（Ⅰ）由已知，当n?2时，?Sn?Sn?1??Sn?Sn?1??an，即?Sn?Sn?1?an?an， 332222n?2）； ∴Sn?Sn?1?an，Sn?1?Sn?an?1，两式相减得an?1?an?an?1?an，于是an?1?an?1（23又由a1?1，S2，可得a2?2，所以a2?a1?1； ?S12?a2因此，数列?an?是以1为首项，1为公差的等差数列，其通项公式为an?n。 …………6分 （Ⅱ）数列?tm?中，ak（含ak项）前的所有项之和为 k?k?1?3k2?k?k?k?1??， ?1?2???k????1?2????k?1????2?223?362?363?372?37?1926?2014；当k?37时，其和为?2035?2014； 当k?36时，其和为 22又因为2014?1926?88?36?2?72，故恰好在k?37时开始满足Tm?2014。 ∴ mmin?37??1?2???36??703。 ……………………12分 19、（本小题满分13分）今年暑假期间有一个自驾游车队，组织车友前往青海游玩。该车队是由31辆车身长都约为5m（以5m计算）的同一车型组成的，行程中经过一个长为2725m的隧道（通过该隧道的速度不能超过20m/s），匀速通过该隧道，设车队速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0?x?12时，相邻两车之间保持20m的距离，当12?x?20时，相邻两车之间保持??121?x?x?m的距离。自第1辆车车头进入隧 3??6道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为y（s）。 （Ⅰ）将y表示成x的函数； （Ⅱ）求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度。 2725?5?31?20??31?1?3480?【解析】（Ⅰ）当0?x?12时，y?； ……………………2分 xx