发布时间 : 星期日 文章2020版高考数学大一轮复习 第十章 统计与统计案例 第2节 用样本估计总体学案 理 新人教B版更新完毕开始阅读c962f0eca4e9856a561252d380eb6294dc882278
2019年
第2节 用样本估计总体
最新考纲 1.了解分布的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点；2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差；3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释；4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想；5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.
知 识 梳 理
1.频率分布直方图 (1)频率分布表的画法：
极差第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝；
组数第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间； 第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表. (2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图)
频率横轴表示样本数据，纵轴表示，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率.
组距2.茎叶图
统计中一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数. 3.样本的数字特征
(1)众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.
(2)中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数
在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等. (3)平均数：把a1＋a2＋…＋an称为a1，a2，…，an这n个数的平均数.
n(4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为x，则这组数据的标准差和方差分别是
s＝
n1222[（x1－x）＋（x2－x）＋…＋（xn－x）]
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s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]
n[常用结论与微点提醒]
1.频率分布直方图中各小矩形的面积之和为1. 2.平均数、方差的公式推广
(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为x，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是mx＋a. (2)数据x1，x2，…，xn的方差为s.
①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s； ②数据ax1，ax2，…，axn的方差为as.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.( ) (2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中.( )
(3)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大.( )
(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次.( ) 解析 (1)正确.平均数、众数与中位数都在一定程度上反映了数据的集中趋势. (2)错误.方差越大，这组数据越离散. 频率(3)正确.小矩形的面积＝组距×＝频率.
组距
(4)错误.茎相同的数据，叶可不用按从小到大的顺序写，相同的数据叶要重复记录，故(4)错误. 答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)×
2.(教材习题改编)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )
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2
2
1
A.91.5和91.5 C.91和91.5
B.91.5和92 D.92和92
解析 这组数据由小到大排列为87，89，90，91，92，93，94，96， 91＋92∴中位数是＝91.5，
2
87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96
平均数x＝＝91.5.
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答案 A
3.(2017·全国Ⅰ卷)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位：kg)分别为
x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )
A.x1，x2，…，xn的平均数 C.x1，x2，…，xn的最大值
B.x1，x2，…，xn的标准差 D.x1，x2，…，xn的中位数
解析 刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差. 答案 B
4.(2018·烟台质检)某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70 km/h的汽车视为“超速”，并将受到处罚.如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测后所作的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有( )
A.30辆
B.40辆
C.60辆
D.80辆
解析 从频率分布直方图知，车速大于或等于70 km/h的频率为0.02×10＝0.2.由于样本容量为200，故“超速”被罚的汽车约有200×0.2＝40(辆). 答案 B
5.(2016·江苏卷)已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是________. 1
解析 易求x＝(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5)＝5.1，
51222222
∴方差s＝[(－0.4)＋(－0.3)＋0＋0.3＋0.4]＝0.1.
5答案 0.1
考点一 茎叶图及其应用
【例1】 (1)(2017·山东卷)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件).若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为( ) A.3，5
B.5，5
C.3，7
D.5，7
(2)(2018·济南模拟)中国诗词大会的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于
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85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成就按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词达人”称号的人数为( )
A.2
B.4
C.5
D.6
解析 (1)由茎叶图，可得甲组数据的中位数为65，从而乙组数据的中位数也是65，所以y＝5. 由乙组数据59，61，67，65，78，可得乙组数据的平均值为66，故甲组数据的平均值也为66， 56＋62＋65＋74＋70＋x从而有＝66，解得x＝3.
5
(2)由茎叶图可得，获“诗词达人”称号的有8人，据该次比赛的成就按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学10
生，则抽选的学生中获得“诗词达人”称号的人数为8×＝2(人).
40答案 (1)A (2)A
规律方法 1.茎叶图的三个关注点
(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一. (2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏.
(3)给定两组数据的茎叶图，估计数字特征，茎上的数字由小到大排列，一般“重心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小.
2.利用茎叶图解题的关键是抓住“叶”的分布特征，准确从中提炼信息.
【训练1】 (1)(2018·广东广雅中学联考)某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m＋n的值是( )
A.10
B.11
C.12
D.13
(2)(2018·沈阳模拟)空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染.从某地一环保人士某年的AQI记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如下.根据该统计数据，估计此地该年AQI大于100的天数约为________(该年为365天).