发布时间 : 星期一 文章数学分析教案（华东师大版）十曲线积分更新完毕开始阅读c9896dc1961ea76e58fafab069dc5022aaea46f8
第二十章 曲线积分
教学目的：1.理解第一、二型曲线积分的有关概念；2.掌握两种类型曲线积分的计算方法，同时明确它们的联系。
教学重点难点：本章的重点是曲线积分的概念、计算；难点是曲线积分的计算。 教学时数：10学时
§ 1 第一型曲线积分
一. 第一型线积分的定义:
1. 几何体的质量: 已知密度函数 , 分析线段的质量 2. 曲线的质量:
3. 第一型线 积分的定义: 定义及记法. 线积分
,.
4. 第一型线积分的性质: P198 二. 第一型线积分的计算:
1. 第一型曲线积分的计算: 回顾“光滑曲线”概念 . Th20.1 设有光滑曲线 义在上的连续函数 . 则
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, . 是定
. ( 证 ) P199
若曲线方程为 的方程为 例1 设
:
, 则
.
时有类似的公式. 是半圆周
. P200例1
,
.
例2 设 第一型曲线积分
是曲线 上从点 到点
的一段. 计算
. P200例2
空间曲线
上的第一型曲线积分: 设空间曲线
,
. 函数
连续可导, 则对
上的连续函数
例3 计算积分
, 有
.
, 其中
是球面
被平面
截得的圆周 . P201例3
解 由对称性知 ,
,
=
. ( 注意
是大圆 )
§ 2 第二型曲线积分
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一. 第二型曲线积分的定义: 1. 力场
沿平面曲线从点A到点B所作的功:
先用微元法 , 再用定义积分的方法讨论这一问题 , 得
, 即
.
2. 稳流场通过曲线 ( 从一侧到另一侧 ) 的流量: 解释稳流场. ( 以磁场为例 ).
设有流速场
左侧到右侧的流量E . 设曲线AB上点 (
. 求在单位时间内通过曲线AB从处的切向量为
,
是切向量方向与X轴正向的夹角. 切向量方向按如下方法确定: 法线方
文档收集自网络，仅用于个人学习 向是指从曲线的哪一侧到哪一侧, 在我们现在的问题中是指从左侧到右侧的方向. 切向量方向与法线向按右手法则确定, 即以右手拇指所指为法线方向, 则食指所指为切线方向 .) .在弧段
上的流量
.
,文档收集自网络，仅用于个人学习 因此 , 由
. , 得
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.
于是通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为
.
3. 第二型曲线积分的定义: 闭路积分的记法. 按这一定义 , 有 力场
沿平面曲线
.
从点A到点B所作的功为
流速场 右侧的总流量E为
在单位时间内通过曲线AB从左侧到 .
第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二型曲线积分有
,因此,定积分是第二型曲线积分中当曲线为X轴上的线段时的特例.
文档收集自网络，仅用于个人学习 可类似地考虑空间力场
曲线AB所作的功. 导出空间曲线上的第二型曲线积分
.
沿空间
4. 第二型曲线积分的性质:
第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题 . 与我们以前讨论过的积分相比, 除多了一层方向性的考虑外, 其余与以前的积累问题是一样的,
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