发布时间 : 星期二 文章概率统计简明教程习题答案（工程代数 - 同济版）更新完毕开始阅读c989c3bbb8f67c1cfad6b8b3
f?x??F??x??1,???x???。 2?1?x?? 20. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（单位：min）服从??x1的指数分布，其密度函数为f?x?? 5x?01?5e, ，某顾客在窗口等待服务，若超过10min，他就离开。 5其他0（1）设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率；
（2）设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到服务的概率。
1解 （1）设随机变量X表示某顾客在银行的窗口等待服务的时间，依题意X服从??的指数分布，且顾客等待
5时间超过10min就离开，因此，顾客未等到服务就离开的概率为
1?P?X?10???10e5dx?e?2；
5（2）设Y表示某顾客五次去银行未等到服务的次数，则Y服从n?5,p?e?2的二项分布，所求概率为
P?Y?1??P?Y?0??P?Y?1???x?5??2???0??e?????1?e?0?25?5??2?2???1??e1?e????4
P?X??0.78?；（4）P?X?1.55?；（5）P?X?2.5?。
解 查正态分布表可得
（1）P?X?2.2????2.2??0.9861；
21. 设X服从??0,1?，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）P?X?2.2?；（2）P?X?176?；（3）
?1?4e?21?e?2????4（2）P?X?1.76??1?P?X?1.76??1???1.76??1?0.9608?0.0392； （3）P?X??0.78?????0.78??1???0.78??1?0.7823?0.2177； （4）PX?1.55?P??1.55?X?1.55????1.55?????1.55?
??P?X?2.5??1?P?X?2.5??1??2??2.5??1?
???1.55???1???1.55???2??1.55??1?2?0.9394?1?0.8788 （5）
P?X??2.8?；（4）P?X?4?；（5）P??5?X?2?；（6）P?X?1?1?。
?2?2??2.5??2?1?0.9938??0.0124。
22. 设X服从???1,16?，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）P?X?2.44?；（2）P?X??1.5?；（3）
?b????a???解 当X~??,?2时，P?a?X?b?????????，借助于该性质，再查标准正态分布函数表可
??????求得
?2.44?1?（1）P?X?2.44????????0.86??0.8051；
4??????1.5?1?（2）P?X??1.5??1?????1????0.125?
4???1??1???0.125?????0.125??0.5498；
??2.8?1?（3）P?X??2.8?????????0.45??1???0.45??1?0.6736?0.3264；
4???4?1???4?1?（4）P?X?4????????????1.25?????0.75?
44???????1.25??1???0.75??0.8944?1?0.7734?0.6678； ?2?1???5?1?（5）P??5?X?2????????????0.75?????1?
44???????0.75????1??1?0.7734?0.8413?1?0.9321；
??2?1??0?1??（6）PX?1?1?1?PX?1?1?1?P?0?X?2??1??????????
44???????1???0.75????0.25??1?0.7724?0.5987?0.8253。
23. 某厂生产的滚珠直径服从正态分布??2.05,0.01?，合格品的规格规定为2?0.2，求该厂滚珠的合格率。
????解 所求得概率为
?2.2?2.05??1.8?2.05?P?2?0.2?X?2?0.2?????????0.1?0.1??????1.5?????2.5????1.5??1???2.5? ?0.9332?1?0.9938?0.92724. 某人上班所需的时间X~??30,100?（单位：min）已知上班时间为8：30，他每天7：50出门，求：（1）某天迟到的概率；（2）一周（以5天计）最多迟到一次的概率。
解 （1）由题意知某人路上所花时间超过40分钟，他就迟到了，因此所求概率为
?40?30?P?X?40??1?????1???1??1?0.8413?0.1587；
10??（2）记Y为5天中某人迟到的次数，则Y服从n?5,p?0.1587的二项分布，5天中最多迟到一次的概率为
?5??5?054?????????P?Y?1???0.1587?0.8413?0.1587?0.8413?0.8192。 ?1??1?????
习题五解答
1??1. 二维随机变量?X,Y?只能取下列数组中的值：?0,0?,??1,1?,??1,?,?2,0?，且取这些组值的概率依次为
3??1115,,,，求这二维随机变量的分布律。 631212解 由题意可得?X,Y?的联合分布律为
X\\Y -1 0 0 0 1 31 121 1 31 0 0 652 0 0 122. 一口袋中有四个球，它们依次标有数字1,2,2,3。从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球。设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同。以X、Y分别记第一、二次取到的球上标有的数字，求?X,Y?的分布律及P?X?Y?。
解 X可能的取值为1,2,3，Y可能的取值为1,2,3，相应的，其概率为
1?211?11P?X?1,Y?1??0,P?X?1,Y?2???,P?X?1,Y?3???,4?364?3122?112?112?11P?X?2,Y?1???,P?X?2,Y?2???,P?X?2,Y?3???,
4?364?364?3611?21P?X?3,Y?1??,P?X?3,Y?2???,P?X?3,Y?3??0.124?36或写成
X\\Y 1 2 1 0 2 3 1 61 61 61 121 6
1 0 61P?X?Y??P?X?1,Y?1??P?X?2,Y?2??P?X?3,Y?3??。
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3. 箱子中装有10件产品，其中2件为次品，每次从箱子中任取一件产品，共取2次，定义随机变量X、Y如下：
X= 0， 若第一次取出正品； Y= 0， 若第二次取出正品； 1， 若第一次取出次品； 1， 若第二次取出次品。 分别就下面两种情况求出二维随机变量?X,Y?的联合分布律：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。
解 （1）在放回抽样时，X可能取的值为0,1，Y可能取的值也为0,1，且
8?8168?24P?X?0,Y?0???,P?X?0,Y?1???,10?102510?1025
2?842?21P?X?1,Y?0???,P?X?1,Y?1???,10?102510?1025或写成
X\\Y 0 1 0 1 1 1216 254 254 251 25（2）在无放回情形下，X、Y可能取的值也为0或1，但取相应值的概率与有放回情形下不一样，具体为
8?7288?28P?X?0,Y?0???,P?X?0,Y?1???,10?94510?945
2?882?11P?X?1,Y?0???,P?X?1,Y?1???,10?94510?945或写成
X\\Y 0 1 0 1 4. 对于第1题中的二维随机变量?X,Y?的分布，写出关于X及关于Y的边缘分布律。
解 把第1题中的联合分布律按行相加得X的边缘分布律为 X -1 0 2 概率 按列相加得Y的边缘分布律为
Y 概率 0 28 458 458 451 455 121 61 31 125 121 5. 对于第3题中的二维随机变量?X,Y?的分布律，分别在有放回和无放回两种情况下，写出关于X及关于Y的边缘分布律。
解 在有放回情况下X的边缘分布律为 X 0 1 概率 Y的边缘分布律为
Y 概率 0 1 7 121 34 54 51 51 5
在无放回情况下X的边缘分布律为
X 概率 Y的边缘分布律为
Y 概率 0 1 0 1 4 54 51 51 56. 求在D上服从均匀分布的随机变量?X,Y?的密度函数及分布函数，其中D为x轴、y轴及直线y?2x?1围成的三角形区域。
解 区域D见图5.2。
易算得D的面积为S?12?1?12?14，所以
函数
f?x,y??
4,0,
?x,y??D其他
y ?X,Y?的分布函数
1 F?x,y???yx?????f?x,y?dxdy
当x??12或y?0时，F?x,y??0； 当
?12?x?0,0?y?2x?1时, F?x,y???yx10dy?y?14dx?4xy?2y?y2； -1 ? 0 1 x 22 图5.2 当?1?x?0,y?2x?1时，F?x,y???x2x?122?1dx?04dy?4x?4x?1；
2当x?0,0?y?1时，F?x,y???y00dy?y?14dx?2y?y2； 2当x?0,y?1时，F?x,y???02x?1?1dx?04dy?1
2综合有
0, x??12或y?0
4xy?y2?2y, ?12?x?0且0?y?2x?1 F?x,y?? 4x2?4x?1, ?12?x?0且y?2x?1
2y?y2, x?0且0?y?1 1, x?0且y?1
7. 对于第6题中的二维随机变量?X,Y?的分布，写出关于X及关于Y的边缘密度函数。解 X的边缘密度函数为
f??X?x?????f?x,y?dy
2x?1= ?04dy,?1 2?x?0 = 4?2x?1?,?1?x?00,其他0, 2
其他Y的边缘密度函数为
fY?y???????f?x,y?dx
0= ?y?14dx,?1?1?y?,2
0?y其他 =
20,
0?y?1其他
0,?X,Y?的密度