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任意角的三角函数教学设计
福建师大附中 张春晓
一、教学内容解析
三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，在其它学科领域也有着广泛的应用.任意角的三角函数是函数的下位概念，它建立在《数学1》中函数概念的基础上，是对锐角三角函数概念的扩张.
引入锐角三角函数的概念，目的是为了研究三角形中的边角关系，定义侧重于从几何的角度，在直角三角形中得到角与边的比值之间的确定关系.而引入任意角三角函数的概念，是为了研究周期变化现象，定义侧重于从代数的角度，以单位圆为工具，得到角和其终边与单位圆交点坐标的确定关系.在弧度制下，是数集到数集的映射.
本节课是在学习完“任意角和弧度制”后的第一节新授课，教材中对任意角的三角函数的定义有两种——单位圆定义法和终边定义法.从研究任意角的三角函数作用看，单位圆定义法显得更为简单直观，为后续研究三角函数性质埋下伏笔；从数学史发展看，单位圆定义法对描述周期性变化规律模型起到推动作用.因此，本教学设计从学生已有的反映周期现象变化的日常经验出发，以数学实际应用为线索，完成任意角的三角函数的建构过程.
二、教学目标
知识与技能：理解任意角三角函数的定义，树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 过程与方法：经历单位圆定义法，培养合情猜测的能力，体会函数模型的作用.
情感、态度与价值观：通过学生积极参与知识“发现”与“形成”的过程，加深对数学概念本质的理解，感悟数学概念的严谨性与科学性. 重点: 任意角三角函数的定义.
难点：任意角三角函数概念的建构过程.
三、教学流程
1．复习
通过对任意角的概念的学习，你认为它与初中角的概念有什么区别？ 设计意图 对任意角概念的理解是学习本节课的基础. 2．创设情境、引出主题
问题：已知摩天轮的中心离地面的高度为h0,它的直径为2r，逆时针方向做匀速转动，转动一周需要360 秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置点A出发，求相对于地面的高度h与时间t的函数关系式. 师：让我们一起分析一下，在整个运动过程中，高度h是怎样变化的? P师生：开始高度h先渐渐增高至最高点，再渐渐降低至最低点，再渐渐升高， θAOM最后回到初始位置；第二周，第三周，…，周而复始，呈现周期现象. 设计意图 以解决实际问题为背景，引入任意角三角函数概念，突出研究问题 的“周期性”特点.
师：我们该用怎样的函数模型来刻画这种运动呢？
让我们先从特殊情形入手.例如，过了20s后，人距离地面的高度是多少？ 0生：h?h0?rsin20.
师：你能对这个式子做一解释吗？
0生：h0表示水平位置OA距离地面的高度，rsin20表示P距离水平位置OA的高度，即h?h0?|MP|.
师：如果过了40s呢？对上面式子做怎样修改？
000师生：将20换成40，即：h?h0?rsin40.一般地，过了t秒呢？猜想: h?h0?rsint
师：这样猜想合情，但合理吗？随着摩天轮的转动，?POA从最初的锐角被推广到了任意角.对任意角?，
sin?该如何定义呢？这就是这节课我们要学习的内容，任意角的三角函数.
设计意图 为引出任意角的三角函数做准备，按照从特殊到一般地策略来探究，让学生感受到接下来学习 新知识的必要性. 3．概念生成
师：当P在水平但位置OA上方时，h?h0?|MP|；当P在水平位置OA下方时，h?h0-|MP|，即：h?h0?|MP|
MP. r师生小结：当点P在圆周上运动时，?POA随之变化，任一个?POA，对应着唯一点P，进而有唯一
MP. |MP|，得到：sint??r与h?h0?rsint相比较，要想两者和谐统一，必须有：rsint??|MP|，即：sint??师：不过这样表述?|MP|时，还是不够简洁,MP何时取正值，何时取负值？能否用一个量去代替?MP， 使上述表示形式更简单？它的绝对值与MP的长度相等，符号在OA上方表示正的，OA下方表示负的. 生:引入直角坐标系，用点P的纵坐标y来替代|MP|或-|MP|.
设计意图 让学生感受到任意角三角函数定义中，坐标系的引入是自然的，有必要的.
师：接下来，我们把角?放在平面直角坐标系中，以原点为圆心，半径为r做圆，与角?的终边交于点P， 假设点P坐标为(x,y)，利用我们刚才对上述问题的分析，这里，sin?=师：当?是锐角时，此规定与初中规定是否吻合？ 生：吻合，利用初中对锐角三角函数定义，sin?=师：三角函数只有这一个吗？ 生：还有余弦，正切.
师：你能仿照正弦给出它们的类似定义吗？ 生：cos??y. r|MP|，|MP|即y，|OP|即r. |OP|xy，tan?? rx师：从高中函数定义来看，他们是真正意义上的函数吗？
生：是的，任意给定角?，其终边唯一确定，终边与圆的交点P就唯一确定，比值随之唯一确定.
y师：比值会随着点P在终边上的变化而变化吗？
y生：不会，由相似三角形知识，比值是唯一确定的. sinα=r师：很好，任意给定??唯一确定比值.那如果?是任意角呢，我们不妨 P(x,y)|OP|=r假设此时?终边落在第二象限，终边与圆的交点仍然是P，坐标为(x,y)，
αOcosα=xrxtanα=yx
显然，我们已经不能把?放在一个锐角三角形内，但是我们同样可以发现，当?给定后，终边唯一确定， 其与圆的交点P唯一确定，仍然符合函数的定义. 师：这种比值形式能进一步简化吗？
生：另r=1，则sin?=y，cos??x，tan??师：此时点P具有什么特点？ 生：点P即是角终边与单位圆的交点. 师：它们是函数吗？
生：是的，当?给定时，点P即定，函数值唯一确定. 师：既然是函数，则有三要素，它们的定义域是什么？
生：y?sin?，y?cos?的定义域均为R，y?tan?的定义域是{?|??k?+y x?2,k?Z}
师：很好，我们就把上面这三个函数称为任意角的三角函数.其实，我们可以发现，任意角的三角函数是 以角作为自变量，以坐标或者坐标的比值为函数值的函数，即从角的集合到实数集的一种对应关系. 设计意图 这里采用概念同化的学习方式，让学生理解定义的合理性，理解概念的背景和生成过程. 4．概念运用
例1.（口算）求下列三角函数值：
(1)sin270; (2)cos3?; (3)tan(??). 变式：若已知cos???1,你能写出?的一个角吗？ 例2.角?的终边经过点P(,?034123)，求它的三角函数值. 2设计意图 让学生熟悉定义，从中概括出用定义解题的步骤.. 例3.设sin??0且tan??0,确定?是第几象限的角.
设计意图 通过定义的应用，让学生了解三种定义域及函数值在各象限的符号的变化规律，并从中进一步理解三角函数的概念，体会数形结合的思想. 例4.不求值，判断下列三角函数值的符号. (1) sin(?1060); (2) cos(016?); (3)tan5560. 5设计意图 引出公式一sin(??k?2?)?sin?，cos(??k?2?)?cos?，tan(??k?2?)?tan?，突出函数周期变化的特点，以及数形结合的思想. 5．探究发现
在如图所示的单位圆中，角?的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边为OP，则有向线段
MP,OM,AT,BS,OT,OS分别称为角?的正弦线，余弦线，正切线，余切线，正割线和余割线.图中的
正弦线MP，余弦线OM均为圆O上的弦的一段.如MP是圆O的弦上PP'的一段，OM是圆O的弦AA' 上的一段.图中正切线AT,余切线BS均为圆O上的切线段.图中正割线OT,余割线OS均为圆O上的割 线段.你能否据此给出三角函数名称的一种几何解释，并说明理由？
设计意图 针对学生素质差异，设计有层次的思考题，留给学生课后自主探究， 也为即将介绍“三角函数线”埋下伏笔. 6．小结反思
通过本节课的学习，谈谈你对三角函数有哪些新的认识？在认知过程中有哪些体会？
设计意图 让学生回顾所学内容，体会任意角三角函数是刻画圆周运动的重要数学模型，它实质上就是以 角为自变量，以角的终边与单位圆交点坐标或坐标比为函数值的函数.体会数形结合、化归等思想方法的
A'OByPαMAP'TxS应用.