发布时间 : 星期三 文章平面向量知识点总结及同步练习更新完毕开始阅读ca10e6a87f1922791688e878
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例3、设非零向量a、b不共线，c=ka+b，d=a+kb (k?R)，若c∥d，试求k
解： ∵c∥d
∴由向量共线的充要条件得：c =λd (λ?R) 即 ka+b=λ(a+kb) ∴(k?λ) a + (1?λk) b = 0 又∵a、b不共线
?k???0 ∴由平面向量的基本定理 ??k??1
?1?k??0
六、平面向量的坐标表示。
1、平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量
i,j作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成a?xi?yj，由于
a与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)，其中x叫作a在
x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标
(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量
(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关
2、平面向量的坐标运算：
(1) 若a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a?b??x1?x2,y1?y2? (2) 若A?x1,y1?,B?x2,y2?，则AB??x2?x1,y2?y1? (3) 若a=(x,y)，则?a=(?x, ?y)
(4) 若a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a//b?x1y2?x2y1?0 (5) 若a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a?b?x1?x2?y1?y2 若a?b，则x1?x2?y1?y2?0
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3、向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质
运算类型 向 量 的 加 法 向 量 的 减 法 向 量 的 乘 法 向 量 的 数 量 积
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几何方法 1平行四边形法则 坐标方法 运算性质 ????a?b?b?a a?b?(x1?x2,y1?y2) 2三角形法则 ??????(a?b)?c?a?(b?c) AB?BC?AC 三角形法则 ????a?b?(x1?x2,y1?y2) a?b?a?(?b) AB??BA OB?OA?AB ?a是一个向量, 满足: ???>0时,?a与a同向; ???<0时,?a与a异向; ???=0时, ?a=0 ??a?(?x,?y) ?(?a)?(??)a ???(???)a??a??a ???????(a?b)??a??b ????a∥b?a??b ??a?b是一个数 a?b?x1x2?y1y2 ????a?b?b?a ??????(?a)?b?a?(?b)??(a?b) ???????(a?b)?c?a?c?b?c ???a2?|a|2,|a|?x2?y2 ????a?0或b?0时, ??a?b=0 ????a?0且b?0时, ??????a?b?|a||b|cos?a,b? ????|a?b|?|a||b| 沿途教育
例1 、已知向量a?(1,2),b?(x,1),u?a?2b，v?2a?b，且u//v，求实数x的值
解： 因为a?(1,2),b?(x,1),u?a?2b，v?2a?b
所以u?(1,2)?2(x,1)?(2x?1,4)，v?2(1,2)?(x,1)?(2?x,3) 又因为u//v
所以3(2x?1)?4(2?x)?0，即10x?5 解得x?
例2、已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),试用向量方法求直线AC和OB（O为坐标原点）交点P的坐标 1 2解： 设P(x,y)，则OP?(x,y),AP?(x?4,y) 因为P是AC与OB的交点
所以P在直线AC上，也在直线OB上 即得OP//OB,AP//AC
由点A(4,0),B(4,4),C(2,6)得，AC?(?2,6),OB?(4,4)
?6(x?4)?2y?0 得方程组?
4x?4y?0??x?3 解之得?
?y?3 故直线AC与OB的交点P的坐标为(3,3)
六、平面向量的数量积
1、两个向量的数量积：
b=︱a︱·已知两个非零向量a与b，它们的夹角为?，则a·︱b︱cos? 叫做a与b的数量积（或内积） 规定0?a?0
2、向量的投影：︱b︱cos?=
a?b∈R，称为向量b在a方向上的投影投影的绝对值称为射|a|7
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影 3、数量积的几何意义： a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积 4、向量的模与平方的关系：a?a?a2?|a|2 5、乘法公式成立：
?????a?b??a?2a?b?b22a?b?a?b?a2?b2?a?b；
222?a?2a?b?b
226、平面向量数量积的运算律： ①交换律成立：a?b?b?a
????③分配律成立：?a?b??c?a?c?b?c?c??a?b? 特别注意：（1）结合律不成立：a??b?c???a?b??c；
（3）a?b=0不能得到a=0或b=0 ②对实数的结合律成立：??a??b??a?b?a??b???R?
（2）消去律不成立a?b?a?c不能得到b?c?
7、两个向量的数量积的坐标运算：
b=x1x2?y1y2 已知两个向量a?(x1,y1),b?(x2,y2)，则a·
8、向量的夹角：已知两个非零向量a与b，作OA=a, OB=b,则∠AOB=? （00???1800）叫做向量a与b的夹角
cos?=cos?a,b??a?ba?b=x1x2?y1y2x1?y1?x2?y22222 当且仅当两个非零向量a与b同方向时，θ=00，当且仅当a与b反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题
9、垂直：如果a与b的夹角为900则称a与b垂直，记作a⊥b 10、两个非零向量垂直的充要条件； ????a⊥b?a·b＝O?x1x2?y1y2?0平面向量数量积的性质
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