发布时间 : 星期日 文章第07讲 开放探究性问题-2019年中考数学总复习巅峰冲刺28讲(解析版)更新完毕开始阅读ca35c363bcd5b9f3f90f76c66137ee06eff94ec3
于点F.【版权所有：21教育】 (1)求证：△BDF是等腰三角形；
(2)如图②，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连结FG交BD于点O. ①判断四边形BFDG的形状，并说明理由； ②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．
解：(1)证明：根据折叠的性质，得∠DBC＝∠DBE， 又∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠BDA，
∴∠DBE＝∠BDA，∴BF＝DF，[来源:学#科#网] ∴△BDF是等腰三角形； (2)①菱形．理由： ∵DG∥BE，DF∥BG，
∴四边形BFDG是平行四边形， 又∵BF＝DF，∴四边形BFDG是菱形； ②在Rt△ABD中，AB＝6，AD＝8，则BD＝10， 设DF＝BF＝x，则AF＝8－x，
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在Rt△ABF中，AB2＋AF2＝BF2，即62＋(8－x)2＝x2，解得x＝，∴DF＝，
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由S菱形BFDG＝DF·AB＝FG·BD，得×6＝FG×10，解得FG＝7.5.
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【例题3】【探究发现】如图①，△ABC是等边三角形，∠AEF＝60°，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F，当点E是BC的中点时，有AE＝EF成立；
【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE，EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：
当点E是直线BC上(B，C除外)任意一点时(其他条件不变)，结论AE＝EF仍然成立．
假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点E是线段BC延长线上的任意一点”；“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在图②中画出图形，并证明AE＝EF.
【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时，若CE＝BC，在图③中画出图形，并运用上述结论求出S△ABC∶
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S△AEF的值．
解：如图②，“点E是线段BC上任意一点”时，在AB上截取AG，使AG＝EC，连接EG，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝60°.∵AG＝EC，∴BG＝BE，∴△BEG是等边三角形，∠BGE＝60°，∴∠AGE＝120°.∵FC是外角的平分线，∠ECF＝120°＝∠AGE.∵∠AEC是△ABE的外角，∴∠AEC＝∠B＋∠GAE＝60°＋∠GAE.∵∠AEC＝∠AEF＋∠FEC＝60°＋∠FEC，∴∠GAE＝∠FEC.在△AGE和△ECF中∠GAE＝∠CEF，??
∴△AGE≌△ECF(ASA)，∴AE＝EF ?AG＝EC，
??∠AGE＝∠ECF，
拓展应用：
如图③：作CH⊥AE于H点，∴∠AHC＝90°.由数学思考得AE＝EF，又∵∠AEF＝60°，∴△AEF是等边三13角形，∴△ABC∽△AEF.∵CE＝BC＝AC，△ABC是等边三角形，∴∠CAH＝30°，AH＝EH.∴CH＝AC，AH＝
22AC3S△ABCAC2321
AC，AE＝3AC，∴＝.∴＝()＝()＝
AE3S△AEFAE33【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。 一、选择题：
1. （2018·云南省曲靖·4分）如图，在正方形ABCD中，连接AC，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB.AC于点M，N，分别以M，N为圆心，大于MN长的一半为半径画弧，两弧交于点H，连结AH并延长交BC于点E，再分别以A.E为圆心，以大于AE长的一半为半径画弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，分别交CD，AC，AB于点F，G，L，交CB的延长线于点K，连接GE，下列结论：①∠LKB=22.5°，②GE∥AB，③tan∠CGF=④S△CGE：S△CAB=1：4．其中正确的是（ ）
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，
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC=∠BAD=45°， 由作图可知：AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠CAE=22.5°， ∵PQ是AE的中垂线， ∴AE⊥PQ， ∴∠AOL=90°，
∵∠AOL=∠LBK=90°，∠ALO=∠KLB， ∴∠LKB=∠BAE=22.5°； 故①正确；
②∵OG是AE的中垂线， ∴AG=EG，
∴∠AEG=∠EAG=22.5°=∠BAE， ∴EG∥AB， 故②正确；
③∵∠LAO=∠GAO，∠AOL=∠AOG=90°， ∴∠ALO=∠AGO，
∵∠CGF=∠AGO，∠BLK=∠ALO， ∴∠CGF=∠BLK，
在Rt△BKL中，tan∠CGF=tan∠BLK=，
故③正确； ④连接EL，
∵AL=AG=EG，EG∥AB， ∴四边形ALEG是菱形， ∴AL=EL=EG＞BL， ∴
，
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∵EG∥AB， ∴△CEG∽△CBA， ∴
=
，
故④不正确；
本题正确的是：①②③， 故选：A．
2. （2018·四川省攀枝花·3分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论： ①四边形AECF为平行四边形； ②∠PBA=∠APQ； ③△FPC为等腰三角形； ④△APB≌△EPC．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4 解：①如图，EC，BP交于点G；
∵点P是点B关于直线EC的对称点，∴EC垂直平分BP，∴EP=EB，∴∠EBP=∠EPB． ∵点E为AB中点，∴AE=EB，∴AE=EP，∴∠PAB=∠PBA．
∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2（∠PAB+∠PBA）=180°，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴AP⊥BP，∴AF∥EC；
∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，故①正确；
②∵∠APB=90°，∴∠APQ+∠BPC=90°，由折叠得：BC=PC，∴∠BPC=∠PBC．
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