发布时间 : 星期一 文章某高校在校生体测成绩的统计分析更新完毕开始阅读ca8aa06568eae009581b6bd97f1922791688bef8
天津科技大学2014届本科生毕业论文
分析所要解决的问题。
本文主要对数据中的13个学院学生的身高进行了单因素一元方差分析和非参数方差分析，其中单因素一元方差分析，样本数据应满足方差分析的几个基本假定，即(1)所有样本均来自正态总体(2)这些正态总体具有相同的方差(3)所有观测值相互独立，即独立抽样。在前两个假定基本满足的情况下，一般认为方差分析检验（ANOVA test）是稳健的。
(1)单因素方差分析的数学模型。设因素A有k个水平，对应试验指标的k个总体，记为?1, ?2, ?, ?k，它们的分布为
?i~N(?i, ?2), i?1,2,?,k. （2-1）
今从这k个总体中各自独立地抽取一个样本，取自?i的样本记为
Xi1,Xi2,?,Xini, i?1,2,?,k. 列表如表2-1所示。
表 2-1 单因素方差分析的样本数据
组别 样本 样本均值 样本方差 ?1 ?2 ? X11,X12,?,X1n1 X21,X22,?,X2n2 ? X1 X2 ? S12 2 S2? ?k 其中 Xk1,Xk2,?,Xknk 1Xi?niniXk Sk2 1ni Xij, S?(Xij?Xi)2, i?1,2,?,k. （2-2）??ni?1j?1j?12i单因素方差分析的数学模型为
X??i??ij??ij, i?1,?,k, j?1,?,ni. （2-3） ?iid2???ij ~ N(0,?)其中iid表示独立同分布。欲检验因素A对试验指标有无显著影响，相当于检验
H0:?1??2????k, H1:?1,?2,?,?k不全相等. （2-4）
原假设H0成立表示因素A对试验指标无显著影响。令
1k????i, ?i??i??, i?1,2,?,k.
ki?1则(2-3)式可改写为
?Xij????i??ij??iid, i?1,?,k, j?1,?,ni. (2-5) ??ij~N(0,?2)????1??2????k?0(2-4)式等价于
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H0:?1??2????k?0, H1:至少存在一个?i?0
这里的?i (i?1,2,?,k)称为因素A的第i个水平所引起的效应，可以看成Ai对总平均?的“贡献”大小。若?i?0，称Ai的效应为正，若?i?0，称Ai的效应为负。
(2)单因素方差分析的原理，作(2-4)式的假设检验，应从分析样本数据的差异入手，数据的差异可分为系统偏差和随机误差，来自不同总体样本数据之间的差异称为系统偏差，来自同一总体样本数据之间的差异称为随机误差。样本数据之间的差异通常用离差平方和（样本观测数据与总均值的差的平方和）来表示，方差分析就是将样本数据的总的离差平方和分解为两部分，一部分为因素所造成的离差平方和，即系统偏差，又称为组间离差平方和；另一部分为随机因素所造成的离差平方和，即随机误差，又称为组内离差平方和。然后根据两部分平方和构造检验统计量，推导统计量所服从的分布，最后写出拒绝域。直观上可以这样理解：若总离差平方和中主要是组间离差平方和，组内离差平方和所占比重非常小，则可认为各组数据之间的差异是显著的，即因素对试验指标的影响是显著的；若总离差平方和中主要是组内离差平方和，组间离差平方和所占比重非常小，则可认为因素对试验指标的影响是不显著的。
(3)离差平方和及自由度的分解，从模型(2-5)式可以看出
Xij????i??ij, i ? （2-6） ?1,k,j,? ? ni 1,上式左边表示每一个样本观测数据与总均值的偏差，这个偏差被分成两部分，其中?i表示由因素A的不同水平所引起的系统偏差，?ij表示随机误差。令
1kni1kn??ni, X???Xij??niXini?1j?1ni?1i?1k
用X作为?的估计，Xi?X作为?i的估计，Xij?Xi作为?ij的估计，则(2-6)式为
Xij?X?Xi?X?Xij?Xi, i?1,?,k, j?1,?,ni.
记SST表示总离差平方和，则
knikniSST????Xij?X?????Xi?X?Xij?Xi?
22i?1j?1ki?1j?1ni??ni?Xi?X?????Xij?Xi?.
22i?1i?1j?1k令
SSA??ni?Xi?X?, SSE????Xij?Xi?.
22i?1i?1j?1kkni可以看出，SSA为因素A所造成的离差平方和，称为组间离差平方和，SSE为随
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机因素所造成的离差平方和，称为组内离差平方和。这样就有如下平方和分解式
SST?SSA?SSE.
为了构造检验统计量并推导其分布，引入如下定理。 在以上记号下，对于模型(2-5)式，有以下结论成立。 ·
SSE?2~?2(n?k)；
SSA~?2(k?1), SST~?2(n?1)，SSE与SSA相互独立。
· 原假设H0成立时，
?2?2对于(2-4)式的假设检验，构造检验统计量
F?SSA/(k?1)MSA?.
SSE/(n?k)MSE其中MSA?SSA/(k?1)称为组间均方离差平方和，MSE?SSE/(n?k)称为组内均方离差平方和。由定理可知，当原假设H0成立时，
F?SSA/(k?1)MSA?~F(k?1, n?k).
SSE/(n?k)MSE直观上可以看出，当统计量F的观测值大于某个临界值时，应拒绝原假设H0，所以对于给定的显著性水平?，拒绝域为
W??F?F?(k?1, n?k)?.
其中F?(k?1, n?k)为F(k?1, n?k)分布的上侧?分位数。
(4)单因素方差分析表
根据以上过程列出单因素方差分析表，如表2-2所示。
表 2-2 单因素方差分析表
来源 组间 组内 总计 平方和 自由度 均方离差 F值 临界值F? SSA SSE SST k?1 n?k MSA?SSA/(k?1) F?MSA/MSE F?(k?1, n?k) MSE?SSE/(n?k) n?1 方差分析表很直观地展现了方差分析的过程，通过对比F值与临界值
F?(k?1, n?k)的大小，作出最后的结论。也可以将表格最后一列的临界值换成检验的p值，其中p?P?F?F的观测值?。对于给定的显著性水平?，当p??时，应拒绝原假设H0，即认为因素A对试验指标有显著影响，并且p值越小，显著性越强；当p??时，应接受原假设H0，即认为因素A对试验指标无显著影响。 非参数方差分析不要求样本来自于正态总体，也不要求正态总体具有相同的
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方差，即不要求正态性和方差性假定。当样本不满足这正态性和方差性的假定时，就要采取基于秩的非参数检验，本文中主要用Kruskal-Walls检验。MATLAB工具箱中提供了kruskalwalls函数，用来做单因素非参数方差分析。检验的原假设是：k个独立样本来自于相同的总体。当原假设成立时，并且样本容量足够大时，检验统计量H近似服从自由度为k-1的?2分布，即
R212*?jj?1njkH?N*(N?1)?3*(N?1)??2*(K?1) （2-7）
k其中，k为样本数，n为第j个样本的样本容量，N??nj，Rj（jj=1,2，...,k）j?1为第j个样本的秩和。对于给定的显著性水平?，当H的观测值大于或等于
??2*(K?1)，拒绝原假设，表示k个独立样本来自于不同的总体，或者说k个
【16】 样本有显著性差异。
2.3 回归分析
在客观世界中变量之间的关系普遍存在。变量之间的关系一般说可以分为非确定性和确定性这两种。非确定性关系即所谓相关关系。例如人的身高和体重之间存在着关系，一般来说越高体重越重，有时同样身高的人，体重也是不一样的，之所以有这种关系，是因为我们涉及的变量是随机变量。确定性关系是指变量之间的关系可以用函数表达。回归分析研究的是相关关系的一种数学工具，这种工具能从一个变量取得值去估计另一个变量所取的值。用来认识事物的内在规律和
【16】 本质属性。
（1）一元回归模型
设有两个变量x和y，其中x是可以精确测量或控制的非随机变量，y是随机变量，假定随机变量y与可控变量x之间存在线性相关关系，建立y与x的数学模型如下：
?y?a?bx?? , （2-8） ?2??~N(0,?) .其中未知参数a,b和?2都不依赖于x。称(2.8)式为y关于x的一元线性回归模型，其中b称为回归系数。由一元线性回归模型可知，当x固定时，y~N(a?bx,?2)，令?(x)?E(y|x)?a?bx，它是x固定时随机变量y的数学期望。直线
Y??(x)?a?bx近似表示了y与x的线性相关关系，称?(x)为y关于x的回归函
数，称Y??(x)?a?bx为y关于x的理论回归方程。 （2） 参数的最小二乘估计
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