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fra，frb——分别表示平衡时，A型和B型树脂的活度系数。
(二) 离子交换选择性系数
式5-2中包含溶液中A离子和B离子的活度系数fa和fb，以及A型和B型树脂的活度系数fra和frb，只有在无限稀的溶液中，活度系数接近1；而实际运行的溶液中离子成分十分复杂，这就给离子活度及树脂的活度系数计算带来很大的麻烦，所以在实际应用中试5-2并不方便。因此可以将式5-2变形为：
'AKAB?KBfafrb?RnA??B?? 5-3 fbfra?RB?n?An?n????式中：KAB——选择性系数或表观平衡常数，但它不是常数。 与阳离子交换反应完全相同，对于阴离子交换反应同样可以得到。 在平衡时有：
KABn?RnA???B-?? 5-4 nn??RB???A?由选择性系数可以，选择性系数越大，离子交换反应越容易进行。
强酸H型阳离子交换树脂和强碱Cl型阴离子交换树脂与几种常见的离子进行交换时的选择性系数见表5-1，5-2所示。
表5-1 强酸H型阳离子交换树脂的选择性系数
KLiH 0.8 Na KHNH4 KHKKH 3.0 KMgH 26 KCaH 42 2.0 3.0 表5-2 强碱Cl型阴离子交换树脂的选择性系数
NO3 KClHSO4 KClHCO3 KCl4KSOCl 3KCOCl KOHCl 0.01～0.05 3.5～4.5 2.0～3.5 0.3～0.8 0.11～0.13 0.01～0.04 将选择性系数中的各浓度用各项中离子分率表示，可以得到以下的关系式。 1、等价离子交换
两种等价离子交换，以Na+与强酸H型树脂为例，可以表示为：
RH?Na??RNa?H? 5-5
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则选择性系数可以表示为：
K?NaH1?xy?x1?y?RNa???H??(CH/C总)??RNa?/(?RNa???RH?)?????RH???Na?(CNa/C总)??RH?/(?RNa???RH?)? 5-6
Na式中：KH——H型树脂对Na+的选择性系数；
x——平衡时，水相中Na+的分率； y——平衡时，树脂相中Na+的分率。
由式5-6，以平衡时树脂相中Na+的分率y为纵坐标，水相中Na+的分率x为横坐标，将一系列的x值代入式5-6求出y值，再将x、y值在图中描述出来用平滑的线连接，得到图5-2。该图可以直观的表示平衡的移动方向。从图中的A点就可以清楚的看到，该平衡是向增加y减少x的方向移动。
1.00.80.6Y 0.4A0.20.00.00.20.4x0.60.81.0
图5-2 强酸阳型树脂交换平衡图(K=0.2)
按照同样的方法，可以得到不同选择性系数的平衡曲线图，如图5-3所示。
1.0K=500.8K=200.6Y K=50.4K=1K=0.20.20.00.00.20.4x0.60.81.0
图5-3 等价离子交换平衡曲线
2、异价离子交换
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两种异价离子交换，以Ca2+与Na型树脂为例，可以表示为：
2RNa?Ca2??R2Ca?2Na? 5-7
则选择性系数可以表示为：
KCaNa??2?R2Ca???Na????RNa?2??Ca2??(CNa/C总)2C总??R2Ca?/(?R2Ca???RNa?)?(CCa/C总)??RNa?/(?R2Ca???RNa?)?(?R2Ca???RNa?)2 5-8
1?xyC总??x1?yq全由式5-8可知，KCaNa不仅与离子分率有关，还与溶液离子浓度以及树脂的全交换容量有关。因此异价离子交换的选择性系数图像与等价离子交换图像有很大的区别。按照等离子交换推导过程，同样可以画出不同选择性系数的一系列平衡曲线。
二、离子交换速度
离子交换平衡是离子交换反应时的理想状态，是在一定的条件下，经过相当长的时间才能达到的极限状态。在离子交换的实际应用中，水是以一定的流速流过交换器内部的树脂。在这种情况下，离子交换反应的时间是有限的，所以在实际应用的离子交换层内是达不到离子交换平衡状态。离子交换速度的快慢直接影响离子交换层内树脂的层高及离子交换树脂的交换容量。因此，研究离子交换速度，对生产和研究都具有重要的意义。
(一) 离子交换步骤
离子交换过程是在固、液两相中进行的，即水中的离子与离子交换树脂上的活性基团进行交换。现以H型树脂与水中Na+离子交换为例，说明离子交换的一般步骤如图5-4，该交换过程一般可以分为5个阶段：
① Na+由溶液主体向离子交换树脂表面的水膜扩散过程； ② Na+在孔道内的扩散过程；
③ Na+与交换基团上的H+进行交换反应的过程； ④ H+在孔道内的扩散过程；
⑤ H+由边界层水膜向溶液主体扩散过程。
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上述5个过程可以概括为3个过程，①和⑤由称为膜扩散过程、②和④称为孔道扩散过程和
图5-4 离子交换步骤示意图
③为离子交换反应过程。其中离子反应通常是很快的，交换速度一般由反应速度慢的扩散过程控制，即由膜扩散或孔道扩散决定离子交换的反应速率的快慢。
一般情况下，树脂的交联度和粒径较小，水相的粒子浓度、流速与扩散系数都较低时，离子交换速度由液膜扩散控制。其他情况一般为孔道扩散控制离子交换速度。在液膜控制时，提高运行流速，可以减小液膜的厚度，减低液膜的阻力，因此，适当提高离子交换的速度，对粒子交换反应有利。
(二) 离子交换速度方程
离子交换过程的速度可用下式表示：
dED?B(c1?c2)(1??) 5-9 ?dt???式中：
dE——单位时间内单位体积树脂的交换量； dtD——总的扩散系数；
B——与粒度均匀程度有关的系数；
c1和c2——分别表示同一种离子在溶液相和树脂相中的浓度；
?——树脂的孔隙度；
?——树脂颗粒的粒径； ?——扩散距离。
(三) 离子交换速度的影响因素
离子交换反应是由孔道扩散和膜扩散控制，因此凡是影响孔道扩散和膜扩散的都可以影
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