发布时间 : 星期四 文章GPS原理与接收机设计更新完毕开始阅读cb143c75a6c30c2259019e7b
GPS地面监控部分对卫星原子钟的进一步监视、校正，使得校正后的卫星原子钟误差可控制在几个纳秒之内。
然而，GPS卫星相对于地面上的观测者在做高速运动，由此产生的相对论效应对GPS来说不可忽略。狭义相对论指出，高速运动的GPS卫星在地面上看起来呈时间膨胀现象，也就是说，GPS卫星上的原子钟比在地面上一模一样的原子钟运行要慢。根据狭义相对论，我们可以计算、预测出GPS卫星原子钟每天要变慢约7?s。
另一方面，GPS卫星在高空运行，而离地球越远，则由地球质量引起的时空弯曲度越小。广义相对论预测，对比在时空弯曲度较大的地面上的原子钟，运行于时空弯曲度较小的卫星原子钟在地面上看起来会变快。通过计算表明，GPS卫星原子钟比在地面上一模一样的原子钟每天要快约45?s。
综合以上狭义和广义相对论的共同作用，在高空中高速运行的卫星原子钟比它们在地面上时每天大致要快38?s。也就是说，GPS卫星原子钟每天要变快38000ns，每秒变快0.44ns，而在两分钟之内卫星原子钟的时间误差就可以超过50ns。因此，如果我们在地面上设计GPS卫星原子钟时不考虑相对论，那么GPS卫星发射上空仅两分钟后，卫星原子钟的运行就会失控，卫星随机就会报废。
我们在2.1节中知道，卫星时钟提供的基本频率f0为10.23MHz。为了补偿相对论效应，我们在地面上设计卫星时钟时，必须特意减小它的实际运行基本频率f0至10.22999999543MHz，即频率调整量?f为-0.00457Hz。这样，一旦GPS卫星被发射升空后，它的时钟频率在地面上看起来正好等于我们所需要的10.23MHz这个设计值。同时，因为卫星运行轨道是个椭圆而不是正圆，所以地面上的GPS用户接收机还必须根据卫星的当前位置再对相对论效应做适当校正，而这一卫星时钟的相对论校正计算将在4.3.1节中予以介绍。
3.3 GPS卫星轨道的理论
GPS接收机在定位时需要知道各个可见卫星在某一任意时刻的空间位置，而随时间变化的卫星空间位置称为卫星的运行轨道。这一节将首先介绍卫星在理想状态下的运行轨道及其开普勒轨道参数，然后在此基础上再对GPS所采用的卫星星历与历书参数进行简单的分析和对比。学习完这一节内容后，读者不但应该能全部理解早在1.2.1节中介绍GPS空间星座部分时所提及的一些卫星轨道术语，而且也应该会对表2.4和表2.5所列出的各个参量有一个相当清晰的认识。
3.3.1 卫星的无摄运行轨道
人造地球卫星在空间围绕地球运行时，它主要受到来自地球的引力影响。假设地球和卫星是一个均质的理想球体，并且地球引力是卫星受到的唯一外力，那么在这种理想状态下的卫星运行轨道称为无摄运行轨道，它可以用开普勒（1571~1630）所发现的三大行星运动定律来描述。开普勒行星运动定律揭示的是行星围绕太阳运行的基本规律，它同样适用于描述包括GPS卫星在内的围绕地球运行的卫星轨道。
开普勒第一定律：所以行星绕太阳运行的轨道都呈椭圆，太阳位于椭圆的一焦点上。 该定律指出，卫星绕地球做椭圆运动，地球是椭圆的一个焦点，并且此椭圆轨道在惯性坐标系中是固定不变的。如图3.7所示，卫星在椭圆轨道上离地心最近的一点N称为近地点，离地心最远的一点F称为远地点。该椭圆的长半径为a，短半径为b，而由式（3.3）可计算出其偏心率es为
as2?bs2（3.28） es?2as我们用下标“s”来代表卫星的椭圆轨道，以区别于3.1.2节中用以描述地球形状的基准椭球体参数。
图3.7 卫星轨道平面和轨道平面直角坐标系
开普勒第二定律：连接行星和太阳的直角在相等的时间内扫过的面积相等。
该定律指出，卫星运行速度是时刻变化的，在近地点时最快，而在远地点时最慢，这是卫星在运行过程中其动能与势能时刻相互交换的结果。在近地点出，卫星势能最低，因而它的速度达到最大。
开普勒第三定律：不同行星绕太阳运行的公转周期的平方分别与它们的轨道长半径的立方成正比。
假如一颗卫星绕地心做长半径为as的椭圆运动，而另一颗假想卫星绕地心做半径为as的圆周（正圆只是椭圆的一个特例）运动，那么根据开普勒第三定律，这两颗卫星绕地球一周所需的时间相同。这一节的稍后会多次提到这个做圆周运动的假想卫星。
开普勒三大行星运动定律可全部由以下的牛顿（1642~1727）万有引力定律推导出来：
F??GMmr（3.29） 2rr其中，矢量F代表质量为m的卫星受到质量为M的地球的引力，矢量r代表由地心O指向卫星S的距离和方向，即
r?rs?re（3.30）
rs和re分别为地心和卫星在某一惯性坐标系中的坐标矢量，标量r代表矢量r的长度，
而r/r是由地心O指向卫星S的单位矢量。根据力的相互作用原理，地球也受到来自卫星的引力，即?F。对卫星和地球分别应用牛顿第二定律得
d2rsGMmrm2?F??2（3.31） dtrrd2reGMmrM2??F?2（3.32）
dtrr而以上两式经变形后相减，得卫星相对于地球的加速度方程如下：
d2rd2(rs?re)G(M?m)rGMr?????（3.33） dt2dt2r2rr2r其中上式的最后一步推导用了近似相等，这是因为它忽略了与地球质量M比起来小很
多的卫星质量m。式（3.33）是一个关于卫星位置矢量r在地心惯性坐标系中的非线性微分方程，它实际上是卫星的运动方程。给定卫星的初始条件，我们队式（3.33）进行一次积分可得到卫星的运行速度，二次积分可得到卫星的空间位置。
在前面讨论开普勒第三定律时，我们曾提到一颗围绕一颗绕地球做半径为as的圆周运动的假想卫星，它的运行周期T等于在以长半径为as的椭圆轨道上运行的卫星运行周期。由于式（3.33）对这颗假想卫星同样成立，因而根据匀速圆周运动的特点，我们很容易利用式（3.33）推导出开普勒第三定律中关于T平方与as立方之间的比例系数，即
T24?2（3.34） ?3asGM尽管式（3.34）是从假想卫星的圆周运动轨道上获得的，但是开普勒第三定律指出，上式对于其他做椭圆轨道运动的卫星同样成立。
如果n代表卫星的平均角速度，即
n?2?（3.35） T那么由式（3.34）得
n?GM?（3.36） ?as3as3其中，常数?的值已由表3.1中给出。从式（3.36）可看出，地球卫星运行的平均角速度m只与其轨道长半径as有关。因为那颗假想卫星以恒定的角速度运行，所以它的恒定角速度值刚好等于那些在椭圆轨道上运行的卫星的平均角速度n。
3.3.2 开普勒轨道参数
GPS接收机并不是从牛顿万有引力定律出发来计算卫星的空间位置的。事实上，GPS的地面监控部分通过持续接收、测定卫星所发射的信号来确定卫星的运行轨道，然后推算出一组以时间为函数的轨道参数来精确描述、预测卫星的运行轨道，再将这些轨道参数上传给卫星，并让卫星转播。GPS接收机正是从卫星信号上获取这些参数，然后利用这些参数计算出卫星的位置和速度的。
GPS卫星的无摄椭圆轨道运动可用一套应用广泛的开普勒轨道参数来描述，而每套开普勒轨道参数总共包含6个：轨道升交点赤经?、轨道倾角i、近地点角距w、长半径as、偏心率es卫星的真近点角v。图3.7和图3.8勾划出了这些开普勒轨道参数的含义，而在具体介绍这些参数之前，我们将首先解释一下图3.7和图3.8中的坐标系。
图3.7中的坐标系（X，Y）以地心O为原点，其X与Y坐标轴完全在卫星轨道平面内，而且X轴与卫星运行轨道的椭圆长轴重合并指向近地点N，故该坐标系又称为轨道平面直角坐标系。图3.7和图3.8中的坐标系(X,Y)是另一个以地心O为原点的轨道平面直角坐标系，其X轴指向卫星赤道升交点，与X和Y轴构成右手系的Z轴大致指向北极。卫星
''''''赤道升交点简称升交点，它是卫星由南向北运行时的轨道与赤道面的一个交点。在图3.8中，
(XT,YT,ZT)为当前时刻的WGS-84地心地固坐标系，而X1为地心直角惯性坐标系中指向
春分点的X轴。
如图3.8所示，作为开普勒轨道参数之一的升交点赤经?是地球赤道平面上的春分点和升交点对地心O的夹角，它指定了卫星轨道升交点在地球赤道平面内的方位。地心和升交点位于卫星轨道平面上，但是通过地心和升交点这两点的平面有无数多个，而卫星运行的轨道平面只是其中的一个。卫星轨道平面与赤道面之间的夹角称为轨道倾角i，它与升交点赤经?一起充分决定了卫星轨道平面相对于地心的方位，尽管?和i两个参数完全决定了卫星运行的轨道平面，但是在这一平面中，以地心为一焦点的椭圆又存在无数多个。近地点角距w是卫星轨道平面上的升交点与近地点N之间的地心夹角，它进一步确定了卫星椭圆轨道在轨道平面中的方位，即椭圆长轴和短轴的位置。接着，长半径as和偏心率es两个开普勒轨道参数具体规定了椭圆的大小和形状。至此，?，i，w，as和es五个参数已经完全确定了卫星的椭圆运行轨道，也就是说，卫星在某一时刻必定位于此椭圆轨道上的某一点处。最后，第6个开普勒轨道参数称为真近点角v，它是卫星在运行轨道上的当前位置S与近地点N之间的地心夹角，即?NOS。这样，上述6个开普勒轨道参数一起，最终完全制定了某一时刻的卫星相对于地心O的空间位置。
对于一颗在无极状态下运行的卫星，它的6个开普勒轨道参数在地心直角惯性坐标系统中只有真近点角v是一个关于时间的函数，而其他5个参数均为常数。考虑到真近点角v与时间的函数关系比较复杂，GPS卫星星历实际上并不直角给出真近点角v，而是引入了两个辅助量来替代并推导出真近点角，这两个辅助量是偏近点角E和平近点角M。
如图3.7所示，点S是卫星质心在t时刻轨道上的位置，而通过S的椭圆长轴垂线交长轴于点D，并且垂线DS的延长线与一个以椭圆中心点C为圆心、半径为as的一个辅助圆周相交于点Q。这个辅助圆周正是我们前面多次提及的假想卫星的运行轨道，所不同的知识在图3.7中，该圆周轨道中心从地心O移至点C。我们知道，在t时刻卫星的真近点角v为?NOS，而与之相应的偏近点角E定义为点Q与近地点N之间对椭圆中心点C的夹角，即?NCQ。
图3.8 开普勒轨道参数
另一个称为平近点角M的辅助量是个虚构量，它不与图3.7中的任何真实角相对应，但它在轨道计算中却非常有用。前面曾提到，那颗做圆周运动的假想卫星和做椭圆运动的真实卫星的运行周期T相等，而且假想卫星的运行角速度等于真实卫星的平均角速度n。加上这两颗卫星在t0时刻同时通过近地点N并且运行方向一致，那么在t时刻真实卫星的平近点角M定义为假想卫星的运行角距，即