发布时间 : 星期一 文章高三文科数学专题复习 三角函数、解三角形更新完毕开始阅读cb92b564e418964bcf84b9d528ea81c758f52ecb
πkππ
因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z. 令2x＋＝kπ，解得x＝－，k∈Z.
6212
kπππ
－，0?，k∈Z，其中离原点O最近的对称中心为?－，0?. 即y＝g(x)图象的对称中心为??212??12?π?π?2π2π?－1?－3＝10. ×8－sin?×8＝10－3cos －sin ＝10－3×19.解 (1)f(8)＝10－3cos??12??12??2?233故实验室上午8时的温度为10 ℃. (2)因为f(t)＝10－2?πππππ7π3π1π?
t＋?，又0≤t＜24， 所以≤t＋＜， cos t＋sin t＝10－2sin??123?3123312212??2
ππππππ
t＋?≤1. 当t＝2时，sin?t＋?＝1；当t＝14时，sin?t＋?＝－1. －1≤sin??123??123??123?于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. ππππ2kππ2kπ
20.解 (1)由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z， 得－＋≤x≤＋，k∈Z.
24243123π2kππ2kπ
－＋，＋?，k∈Z. 所以函数f(x)的单调递增区间为??43123?π4π
α＋?＝cos?α＋?(cos2α－sin2α)， (2)由已知，有sin??4?5?4?ππππ4
cos αcos －sin αsin ?(cos2 α－sin2 α)， 所以sin αcos ＋cos αsin ＝?44?445?4
即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．
5
3π
当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝＋2kπ，k∈Z，此时cos α－sin α＝－2.
45
当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝. 4
由α是第二象限角，知cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－综上所述，cos α－sin α＝－2或cos α－sin α＝－
5. 2
5. 2
π
2x＋?＋1. 21.解 f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin?4??5π?11ππ
(1)f?＝2sin＋1＝2sin＋1＝2. ?4?44
2ππππ3ππ
(2)T＝＝π. 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
2242883ππ
kπ－，kπ＋?，k∈Z. 所以f(x)的单调递增区间为?88??7π
22.解 (1)f(x)的最小正周期为π，x0＝，y0＝3.
6
ππ5ππππ
－，－?，所以2x＋∈?－，0?. 于是当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0； (2)因为x∈?12??2?6?6612
17
πππ
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.
623
B组 两年模拟精选(2016～2015年)
π1
2x＋?. 答案 B 1.解析 横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，则有g(x)＝cos?6??27ππ?ππ2π
－＝π，ω＝2，f??＝cos?φ＋?＝1， 2.解析 依题意得T＝＝4??123??3??6?ω2πππ
2x－?. 又|φ|<，因此φ＝－，所以f(x)＝cos?3??26
ππππ
x＋?＝cos?2x－?取得最小值时，2x－＝2kπ－π，k∈Z，即x＝kπ－，k∈Z， 答案 B 当f?3??6??33
π?x＋π?＋φ?＝sin?2x＋π＋φ?的图象， 3.解析 函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位， 得g(x)＝sin?24??8????8πππ
又g(x)的函数图象关于y轴对称，所以g(x)为偶函数， 所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ＋(k∈Z)，
424π
当k＝0时，φ＝，故选B. 答案 B
4
πππ3π
4.解析 当x＝时，函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0)取得最小值，即＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z，
44243π3π3π3π
x－?(A＞0)， 所以y＝f(－x)＝Asin?－x＋?＝－Acos x， 所以f(x)＝Asin?4??4??44π?
所以函数为偶函数且图象关于点??2，0?对称，选D. 答案 D
πππ
－2x?＝2cos?2x＋?， π＋2kπ≤2x＋≤2π＋2kπ，k∈Z， 5.解析 f(x)＝2sin?6??3??6即
5π11π5π11π
＋kπ，＋kπ?(k∈Z) ＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 答案 ?12?12?1212
π2π
ω＞0，|φ|＜?的最小正周期为π， 故＝π，ω＝2. 6.解析 由于函数f(x)＝sin(ωx＋φ)?2??ω
π?x－π?＋φ?＝sin?2x－π＋φ?，为奇函数， 把其图象向右平移个单位后得到函数的解析式为y＝sin?26??12????12ππππ
2x＋?. ∴－＋φ＝kπ，∴φ＝kπ＋，k∈Z， ∴φ＝，∴函数f(x)＝sin?6??666
kπππkππ
－，0?(k∈Z). 令2x＋＝kπ，k∈Z，可得x＝－，k∈Z， 故函数的对称中心为?212??62125π?
故点??12，0?是函数的一个对称中心. 答案 C 7.解 (1)f(x)＝
πππ3313
sin ωxcos ＋cos ωxsin ?＝3sin?ωx＋?. sin ωx＋cos ωx＝3?sin ωx＋cos ωx?＝3?33?3???222?2?
ππ?2ππ
∵T＝4，ω＞0，∴ω＝＝. ∴f(x)＝3sin??2x＋3?. 42
2π(2)将f(x)的图象沿x轴向右平移个单位得到函数g(x)＝3sinx.
32∵P，Q分别为该图象的最高点和最低点， ∴P(1，3)，Q(3，－3).
18
OQ2＋PQ2－OP23
∴OP＝2，PQ＝4，OQ＝12， ∴cos∠OQP＝＝.
2OQ·QP2π
∵∠OQP是△OPQ的一个内角， ∴∠OQP＝. 6
专题三 三角恒等变换答案精析
A组 三年高考真题（2016～2014年）
cos2θ－sin2θ1－tan2θ4122
1.解析 tan θ＝－，则cos 2θ＝cosθ－sinθ＝2＝＝. 答案 D
3cosθ＋sin2θ1＋tan2θ5π?311
－x＝1－2sin2x＋6sin x＝－2?sin x－?＋， 2.解析 因为f(x)＝cos 2x＋6cos?2??2??2所以当sin x＝1时函数的最大值为5，故选B. 答案 B
11
－23tan（α＋β）－tan α1
3.解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝. 答案 A
1171＋tan（α＋β）tan α
1＋×234.解析 ∵2cos2x＋sin 2x＝cos 2x＋1＋sin 2x＝2?22?cos 2x＋sin 2x＋1
2?2?
2
π
2x＋?＋1＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)， ＝2sin?4??
∴A＝2，b＝1. 答案 2 1
5.解 (1)由f(x)＝23sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2＝23sin2x－(1－2sin xcos x)
π
2x－?＋3－1. ＝3(1－cos 2x)＋sin 2x－1＝sin 2x－3cos 2x＋3－1＝2sin?3??
ππππ5π
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z).
2321212
π5ππ5π
kπ－，kπ＋?(k∈Z)?或?kπ－，kπ＋?（k∈Z）?. 所以f(x)的单调递增区间是?1212?1212?????π
2x－?＋3－1， (2)由(1)知f(x)＝2sin?3??
把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， π
x－?＋3－1的图象. 得到y＝2sin??3?
π
再把得到的图象向左平移个单位，得到y＝2sin x＋3－1的图象，
3π?π
即g(x)＝2sin x＋3－1. 所以g?＝2sin ＋3－1＝3. ?6?66.解 (1)f(x)＝2sin ωx·cos ωx＋cos 2ωx＝sin 2ωx＋cos 2ωx
＝2?
π22?2ωx＋? sin 2ωx＋cos 2ωx＝2sin?4??2?2?
2π
由ω＞0，f(x)最小正周期为π得＝π， 解得ω＝1.
2ω
19
ππππ3ππ
2x＋?，令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， (2)由(1)得f(x)＝2sin?4??242883ππ
－＋kπ，＋kπ?(k∈Z). 即f(x)的单调递增区间为?8?8?π
4tan α＋12＋1π
α＋?＝7.解 (1)tan?＝＝＝－3. ?4?π1－tan α1－2
1－tan αtan
4
tan α＋tan
sin 2α2sin αcos α
(2)2＝2 sinα＋sin αcos α－cos 2α－1sinα＋sin αcos α－（2cos2α－1）－1＝
2sin αcos α2tan α2×2
＝2＝1. 2＝2sinα＋sin αcos α－2cosαtanα＋tan α－22＋2－2
2π
x＋?－3. 所以f(x)的最小正周期为2π. 8.解 (1)因为f(x)＝sin x＋3cos x－3.＝2sin??3?2ππππ2π
(2)因为0≤x≤时，所以≤x＋≤π. 当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值．
333332π2π
0，?上的最小值为f??＝－3. 所以f(x)在区间?3???3?
πxxx
x＋?＋5， 9.(1)解 因为f(x)＝103sin cos ＋10cos2＝53sin x＋5cos x＋5＝10sin??6?222所以函数f(x)的最小正周期T＝2π.
π
(2)证明 ①将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y＝10sin x＋5的图象，再向下平移a
6(a＞0)个单位长度后得到g(x)＝10sin x＋5－a的图象．
又已知函数g(x)的最大值为2，所以10＋5－a＝2，解得a＝13. 所以g(x)＝10sin x－8.
②要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使443π4
得10sin x0－8＞0，即sin x0＞. 由＜知，存在0＜α0＜，使得sin α0＝. 55235
4
由正弦函数的性质可知，当x∈(α0，π－α0)时，均有sin x＞. 因为y＝sin x的周期为2π，
54
所以当x∈(2kπ＋α0，2kπ＋π－α0)(k∈Z)时，均有sin x＞. 5π
因为对任意的整数k，(2kπ＋π－α0)－(2kπ＋α0)＝π－2α0＞＞1，
3
4
所以对任意的正整数k，都存在正整数x0∈(2kπ＋α0，2kπ＋π－α0)，使得sin xk＞. 5亦即，存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0.
π5π32?5π＋π?＝32?Asin 3π＝32?A＝3. x＋?，且f??＝10.解 (1)∵f(x)＝Asin?， ∴Asin?3??12?2?123?242πππ
x＋?， ∵f(θ)－f(－θ)＝3， ∴3sin(θ＋)－3sin?－θ＋?＝3， (2)由(1)知f(x)＝3sin?3??3??331331
展开得3?sin θ＋cos θ?－3?cos θ－sin θ?＝3， 化简得sin θ＝.
322?2??2?
20