发布时间 : 星期一 文章2019_2020学年高中数学第一章集合与函数概念1.2.1函数的概念第2课时函数的定义域与值域教案新人教A版必修1更新完毕开始阅读cbc523c86d85ec3a87c24028915f804d2a1687eb
所求定义域为{x|x≤1且x≠0}．
命题视角2：求抽象函数的定义域
[例3] (1)已知函数f(x)的定义域是[－1,4]，求函数f(2x＋1)的定义域． (2)已知函数f(2x＋1)的定义域是[－1,4]，求函数f(x)的定义域．
[分析] 在对应关系相同的情况下，f(x)中x应与f(g(x))中g(x)的取值范围相同，据此可解答该题．
[解] (1)由已知f(x)的定义域是[－1,4]， 即－1≤x≤4.
故对于f(2x＋1)应有－1≤2x＋1≤4. 3∴－2≤2x≤3，∴－1≤x≤.
23??∴f(2x＋1)的定义域是?－1，?. 2??(2)由已知f(2x＋1)的定义域是[－1,4]，
即f(2x＋1)中，应有－1≤x≤4，∴－1≤2x＋1≤9. ∴f(x)的定义域是[－1,9]．
因为f?g?x??就是用g?x?代替了f?x?中的x，所以g?x?的取值范围与f?x?中的x的取值范围相同.若已知函数f?x?的定义域为[a，b]，则函数f?g?x??的定义域是指满足不等式
a≤g?x?≤b的x的取值范围；而已知f?g?x??的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]，要求f?x?
的定义域，就是求x∈[a，b]时g?x?的值域.
[变式训练3] 若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝( B )
A．[0,1] C．[0,1)∪(1,4]
B．[0,1) D．(0,1)
f?2x?
的定义域是x－1
解析：因为f(x)的定义域为[0,2]，所以对于函数g(x)满足0≤2x≤2，且x≠1，故x∈[0,1)．
类型三 求函数的值域
[例4] 求下列函数的值域．
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(1)f(x)＝3x－1，x∈[－5,2)； (2)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}； (3)y＝x－4x＋6，x∈[1,5)； 5x－1(4)y＝.
4x＋2
[解] (1)∵x∈[－5,2)，∴－15≤3x<6，
∴－16≤3x－1<5，∴函数f(x)＝3x－1，x∈[－5,2)的值域是[－16,5)．
(2)∵x∈{1,2,3,4,5}，∴2x＋1∈{3,5,7,9,11}，即所求函数的值域为{3,5,7,9,11}． (3)y＝x－4x＋6＝(x－2)＋2.
2
2
2
∵x∈[1,5)，∴其图象如图所示， 当x＝2时，y＝2；当x＝5时，y＝11. ∴所求函数的值域为[2,11)． 510
?4x＋2?－1－
45x－14
(4)y＝＝ 4x＋24x＋2514?4x＋2?－4457＝＝－. 4x＋242?4x＋2?∵
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≠0，∴y≠，
2?4x＋2?4
5x－15∴函数y＝的值域为{y∈R|y≠}．
4x＋24
根据函数关系式，选择恰当的方法求函数的值域.?1?对于一次函数，已知自变量的取值范围，依据简单不等式的运算，求得函数的取值范围，即为函数的值域；?2?对于二次函数，
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可借助图象求函数的值域；?3?通过分离常数，借助反比例函数的特征求值域.无论哪种方法求值域，都应注意定义域的限制.
[变式训练4] 求下列函数的值域： (1)y＝2x＋1，x∈{0,1,3,4}； (2)y＝
x2
x＋1
；
(3)y＝x－4x，x∈[1,4]．
解：(1)∵y＝2x＋1，x∈{0,1,3,4}， ∴y∈{1,3,7,9}． (2)∵y＝且
＝x＋1
x?x＋1?－11
＝1－，
x＋1x＋1
1
≠0， x＋1
∴函数y＝
xx＋1
的值域为{y|y≠1}．
2
(3)配方，得y＝(x－2)－4. ∵x∈[1,4]，
∴函数的值域为[－4,0].
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1．函数f(x)＝x＋1＋的定义域为( A )
2－xA．[－1,2)∪(2，＋∞) C．[－1,2)
??x＋1≥0，
解析：由?
?2－x≠0，?
2
B．(－1，＋∞) D．[－1，＋∞)
解得x≥－1且x≠2.故选A.
*
2．函数f(x)＝x＋1(0 解析：∵0 7 * B．{x|x>1} D．{2,5} 3．若函数f(x)与g(x)＝＋∞)． 是相等的函数，则函数f(x)的定义域是[2,6)∪(6， 2－x－2 3 解析：∵2－x－2≠0，∴x≠6， 又x－2≥0，∴x≥2， ∴g(x)的定义域为[2,6)∪(6，＋∞)． 故f(x)的定义域是[2,6)∪(6，＋∞)． 4．已知函数f(x)的定义域为{x|－1 解得－1 x－1(3)y＝x－x＋1. 解：(1)函数的定义域为R，因为(x－1)＋1≥1，所以函数的值域为{y|y≥1}． 5x＋49 (2)函数的定义域为{x|x≠1}，y＝＝5＋，所以函数的值域为{y|y≠5}． x－1x－1(3)要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域为{x|x≥－1}．设t125522 ＝x＋1，则x＝t－1(t≥0)，于是y＝t－1－t＝(t－)－，又t≥0，故y≥－，所以 2445 函数的值域为{y|y≥－}． 4 2 2 ——本课须掌握的三大问题 1．两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，根据它们之间的关系，判断两个函数是否为同一函数，主要看它们的定义域和对应法则是否相同．因为只要定义域相同，对应法则相同，则值域就相同． 2．研究函数问题必须树立“定义域优先”原则．求函数定义域一般有三种类型：(1)函数来自实际问题的定义域；(2)已知函数解析式求定义域；(3)抽象函数求定义域． 3．求值域的方法有：(1)观察法：根据定义域和对应关系求出；(2)数形结合法：作出函数的图象，然后求解；(3)配方法：配方求解；(4)分离常数法：添一项、减一项，分离出常数再求解；(5)换元法：可以将无理函数转换成有理函数再求解． 8