发布时间 : 星期六 文章高考数学专题三 第1讲更新完毕开始阅读cc8654ed0d22590102020740be1e650e52eacfe4
第1讲 等差数列、等比数列的基本问题
高考定位 1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现；2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下.
真 题 感 悟
1.(2017·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( ) A.1
B.2
C.4
D.8
?a4＋a5＝24，?2a1＋7d＝24，解析 设{an}的公差为d，由?得?解得d＝4.
?S6＝48，?6a1＋15d＝48，答案 C
2.(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A.1盏
B.3盏
C.5盏
D.9盏
解析 设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则依题意S7a1（1－27）
＝381，公比q＝2.∴＝381，解得a1＝3.
1－2答案 B
1
3.(2017·全国Ⅱ卷)等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则∑ ＝k＝1S
n
k
________.
解析 设{an}首项为a1，公差为d，则
?a3＝a1＋2d＝3，??a1＝1，n（n＋1）由?得?∴Sn＝， 4×32d＝1.?S＝4a1＋2d＝10，??412222∑ ＝＋＋?＋＋ k＝1Sk1×22×3n（n－1）n（n＋1）
n
1111111??
＝2?1－2＋2－3＋?＋n－1－n＋n－n＋1? ??1?2n?1－??＝2n＋1?＝n＋1. ?答案
2n
n＋1
4.(2016·全国Ⅲ卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； 31
(2)若S5＝32，求λ.
1
(1)证明 由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝，a≠0.
1－λ1由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1， 得an＋1＝λan＋1－λan，则an＋1(λ－1)＝λan， an＋1λ
由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以a＝. λ－1n
λ1
因此{an}是首项为，公比为的等比数列，
1－λλ－11?λ?n－1??于是an＝. 1－λ?λ－1??λ?n
?. (2)解 由(1)得Sn＝1－?
?λ－1?
?λ?531?λ?5131
?＝，即??＝. 由S5＝32得1－?
3232?λ－1??λ－1?解得λ＝－1.
考 点 整 合
1.等差数列
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d；
(2)求和公式：Sn＝(3)性质：
n（a1＋an）n（n－1）
＝na＋d； 1
22
①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq； ②an＝am＋(n－m)d；
③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，?，成等差数列. 2.等比数列
(1)通项公式：an＝a1qn－1(q≠0)；
a1（1－qn）a1－anq
(2)求和公式：q＝1，Sn＝na1；q≠1，Sn＝＝；
1－q1－q(3)性质：
①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq； ②an＝am·qn－m；
③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，?(Sm≠0)成等比数列.
温馨提醒 应用公式an＝Sn－Sn－1时一定注意条件n≥2，n∈N*.
热点一 等差、等比数列的基本运算
【例1】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和.若S8＝4S4，则a10＝( ) 17
A.2
19 B.2
C.10
D.12
(2)(2016·全国Ⅰ卷)设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2?an的最大值为________.
解析 (1)设等差数列的首项为a1， 8×（8－1）×1则S8＝8a1＋＝8a1＋28，
24×（4－1）×1
S4＝4a1＋＝4a1＋6，
2因为S8＝4S4，
即8a1＋28＝16a1＋24，
1119
所以a1＝2，则a10＝a1＋(10－1)d＝2＋9＝2.
(2)由于{an}是等比数列，设an＝a1qn－1，其中a1是首项，q是公比. a＝8，?2
?1?a1＋a3＝10，?a1＋a1q＝10，
所以?即?解得?1 3
a＋a＝5，aq＋aq＝5，q＝.?2?141??2?1?n－4故an＝?2?，
??
?1?（－3）＋（－2）＋?＋（n－4）
所以a1·a2·?·an＝?2?
??11??7?249?
?n－2?－??1?2n（n－7）?1?2?4?. ??＝?2?＝?2??
????
1??7?249?
当n＝3或4时，2??n－?－?取得最小值－6，
2?4???1??7?249?
?n－2?－??1?2?4?取得最大值26. ??此时?2????所以a1·a2·?·an的最大值为64. 答案 (1)B (2)64
探究提高 1.第(2)题求解的思路是：先利用等比数列的通项公式构建首项a1与公比q的方程组，求出a1，q，得到{an}的通项公式，再将a1a2·?·an表示为n的函数，进而求最大值.
2.等差(比)数列基本运算的解题途径： (1)设基本量a1和公差d(公比q).
(2)列、解方程组：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量.
【训练1】 (1)(2017·北京卷)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a2a4＝b4＝8，则b＝________.
2
(2)(2017·衡水中学第二次调研)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝1＋2an(n≥2)，且a1＝2，则S20＝( ) A.219－1 C.219＋1
B.221－2 D.221＋2
解析 (1){an}为等差数列，a1＝－1，a4＝8＝a1＋3d＝－1＋3d，∴d＝3，∴a2