发布时间 : 星期三 文章长沙市高中四大名校自主招生考试试卷附答案（中考理科数学竞赛必备）更新完毕开始阅读ccb3ff4b988fcc22bcd126fff705cc1754275f63
长郡中学20XX年高一实验班选拔考试试卷 注意：
(1) 试卷共有三大题16小题，满分120分，考试时间80分钟. (2) 请把解答写在答题卷的对应题次上, 做在试题卷上无效.
一、 选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子 )
(A) 直线y = –x上 (B) 抛物线 y =x2上 (C) 直线y = x上 (D) 双曲线xy = 1上
2．以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k的值是 ( )
(A) 35 (B) 30 (C) 25 (D) 20 3．若－1＜a＜0，则a,a,a, (A) (C) 1a1
a31a一定是 ( ) 最小，a3最大 (B) 最小，a最大 (D) a最小，a最大 1
a最小， a最大
4．如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得 △ABF，连结EF交AB于H，则下列结论错误的是（ ） (A) AE⊥AF （B）EF：AF =2：1 (C) AF= FH2FE （D）FB ：FC = HB ：EC
5．在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF的面积为10，△BCF的面积为20，△CEF的面积为16，则四边形区域ADFE的面积等于（ ）
(A) 22 (B) 24 (D) 36 (D)44 6．某医院 ）
（A）30 （B）35 （C）56 （D） 448 二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分） 7．若4sinA – 4sinAcosA + cosA = 0, 则tanA
. 222 第4题
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8．在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小
时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流. 则经过 小时后，观测站及
A、B两船恰成一个直角三角形.
9．如右图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其 长、宽分别为4、2，则通过A,B,C三点的拋物线对应的函数关系式 是 .
10．桌面上有大小两颗球，相互靠在一起。已知大球的半径为20cm，小 球半径5cm, 则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于 cm.
11．物质A与物质B分别由点A(2,0)同时出发，沿正方形BCDE 的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以l单位/秒等速运动， 物质B按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动 后的第11次相遇地点的坐标是 . 12．设C1,C2,C3,? ? 为一群圆, 其作法如下：C1是半径为a 的圆, 在C1的圆 (用a第12题
(第11题
) (第9题)
正整数，用a表示，不必证明)
三、解答题（本题有4个小题，共60分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。
13.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD 是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E点，OC∥AB. (1) 求证AD = AE；
(2) 若OC=AB = 4，求△BCE的面积.
第13题
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14.（本题满分14分）已知抛物线y = x + 2px + 2p –2的顶点为M， (1) 求证抛物线与x 轴必有两个不同交点； (2) 设抛物线与x 轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小.
15 （本小题满分16分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：
2
A队共积19分。
(1) 试判断A队胜、平、负各几场?
(2) 若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值.
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16（本小题满分18分）已知：矩形ABCD，（字母顺序如图） 的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中， 使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限， 且直线y =3
2x－1经过这两个顶点中的一个.
（第16题） （1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标； （2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y = ax2 ＋bx＋c的顶点是P点.
① 若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；
② 过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y =
32x－1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由. 146424296.doc 第4页
20XX年高一实验班选拔考试数学卷评分标准
一、 选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
1．D 2．D 3．A 4．C 5．D 6．B 二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分） 7．1
2. 8．2. 9． y = – 4
3512x –212x +203. 10．20. 11．( –,–2). 12．(1) 圆C2的半径 ； (2)圆Ck的半径 (2 –1 )n – 1 a . 三、解答题
13.（本小题满分12分）
（1）证1.∵AD是圆O的直径，点C在圆O上， ∴∠，即AC⊥DE. 又∵OC∥AE，O为AD中点，
∴AD = AE. 4分 证2 ∵O为AD中点，OC∥AE， ∴2OC = AE，
又∵AD是圆O的直径， ∴ 2OC = AD，
∴AD = AE. 4 分
（2）由条件得ABCO是平行四边形， ∴BC∥AD，
又C为中点，∴AB =BE = 4， ∵AD = AE，
∴BC = BE = 4， 4分 连接BD，∵点B在圆O上， ∴∠， ∴CE = BC= 4，
即BE = BC = CE= 4，
∴ 所求面积为43. 4分
14.（本题满分14分）
解：(1) ∵⊿ = 4p2 – 8p + 8 = 4 ( p –1)2 + 4 >0 , 146424296.doc 第5页
∴抛物线与x 轴必有两个不同交点. 4分 (2) 设A (x1, 0 ), B( x2, 0),
则|AB|2 = |x2 – x1|2 = [ (x1 + x2)2 – 4x1x2]2 = [4p2 – 8p + 8 ]2 = [4 ( p –1)2 + 4]2, ∴分 又设顶点M ( a , b ), 由y = ( x – p) – ( p – 1 ) – 1 . 得b = – ( p – 1 ) – 1 .
当p =1时，|b|及|AB|均取最小，此时S△ABM =
15 （本小题满分16分） 解：（1）设A队胜x场，平y场，负z场， 得
取最小值1 . 5分 ，可得：
分
依题意，知x≥0,y≥0,z≥0,且x、y、z均为整数，
∴
解得：≤x≤27193 ，∴ x可取4、5、6 4分
∴ A队胜、平、负的场数有三种情况： 当x=4时， y=7,z=1； 当x=5时，y= 4,z = 3 ； 当x=6时，y=1,z= 5. 4分
（2）∵W=（1500+500）x + (700+500)y +500z= – 600x+19300 当x = 4时，W最大，W最大值= – 6034+19300=16900（元） 答略. 4分 16（本小题满分18分）
解：(1)如图，建立平面直有坐标系，