发布时间 : 星期日 文章第八章空间解析几何与向量代数知识点,题库与答案更新完毕开始阅读cce1e9097e192279168884868762caaedc33ba9a
第八章：空间解析几何与向量代数
一、重点与难点
1、重点
①向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角； ②数量积（是个数） 、向量积（是个向量） ； ③几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面；
④平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程） 的夹角；
⑤空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程） 两直线的夹角、直线与平面的夹角； 2、难点
①向量积（方向） 、混合积（计算） ；
②掌握几种常见的旋转曲面、柱面的方程及二次曲面所对应的图形； ③空间曲线在坐标面上的投影；
④特殊位置的平面方程（过原点、平行于坐标轴、垂直于坐标轴等； ⑤平面方程的几种表示方式之间的转化； ⑥直线方程的几种表示方式之间的转化；
）
，
，两平面
二、基本知识
1、向量及其线性运算
①向量的基本概念： 向量 既有大小
又有方向的量；
向量表示方法 ：用一条有方向的线段
的大小
向量的符号
(称为有向线段 )来表示向量
.；
有向线段的长度表示向量
有向线段的方向表示向量的方向
以 A 为起点、 B 为终点的有向线段所表示的向量记作 表示 也可用上加箭头书写体字母表示
AB 向量可用粗体字母
例如 a、r、v、F 或 a 、 r 、 v 、 F ；
向量的模
向量的大小叫做向量的模 向量 a、 a 、 AB 的模分别记为 |a|、 |a| 、 |AB |
单位向量 向量的平行
模等于 1 的向量叫做单位向量；
两个非零向量如果它们的方向相同或相反 平行 记作 a // b 线
就称这两个向量平行
向量 a 与 b
零向量认为是与任何向量都平行； 两向量平行又称两向量共
零向量
模等于 0 的向量叫做零向量 可以看作是任意的
记作 0 或 0 零向量的起点与终点重合 它的方向
共面向量 ： 设有 k(k 3)个向量
一个平面上
当把它们的起点放在同一点时 如果 k 个终点和公共起点在
就称这 k 个向量共面；
两个向量之间的不超过
的夹
两向量夹角 ：当把两个非零向量 a 与 b 的起点放到同一点时
江西科技学院公教部方玲玲编撰
1
角称为向量 a 与 b 的夹角 记作 (a,^ b) 或 (b,^a) 规定它们的夹角可以在
如果向量 a 与 b 中有一个是零向量
0 与 之间任意取值
；
②向量的线性运算
向量的加法 （三角形法则） ：设有两个向量 a 与 b 平移向量使 b 的起点与 a 的终点重合 此时
从 a 的起点到 b 的终点的向量 c称为向量 a 与 b 的和 记作 a+b 即 c a+b .
平行四边形法则
向量 a 与 b 不平行时 平行四边形
平移向量使 a 与 b 的起点重合 以 a、b 为邻边作一
从公共起点到对角的向量等于向量 (1)交换律 a b b a
a 与 b 的和 a b
向量的加法的运算规律 负向量
设 a 为一向量
(2)结合律 (a b) c a ( b c)
与 a 的模相同而方向相反的向量叫做 a 的负向量 记为 a
向量的减法
把向量 a 与 b 移到同一起点 是向量 b 与 a 的差 b a
O 则从 a 的终点 A 向 b 的终点 B 所引向量 AB 便
向量与数的乘法：
向量 a 与实数 的方向当 为零向量
的乘积记作规定 a 是一个向量
当
它的模 | a| | 0 时 | a| 0
||a| 它
>0 时与 a 相同 当 <0 时与 a 相反 这时它的方向可以是任意的
)a； (2)分配律 (
即 a
运算规律
(1) 结合律
设 a 0
( a) ( a) (
向量的单位化
则向量 是与 a 同方向的单位向量
a
)a
a a； (a b) 记为 ea
a b
|a|
，于是 a |a|e
a
定理 1 a
设向量 a
0
那么 向量 b 平行于 a 的充分必要条件是
存在唯一的实数
使 b
③空间直角坐标系
在空间中任意取定一点 原点的两两垂直的数轴 构成一个空间直角坐标系
注 :
O 和三个两两垂直的单位向量 i、 j、 k 就确定了三条都以 依次记为 x 轴(横轴 )、y 轴 (纵轴 )、z 轴 (竖轴 ) 统称为坐标轴
称为 Oxyz 坐标系
O 为 它们
(1)通常三个数轴应具有相同的长度单位 (2) 通常把 x 轴和 y 轴配置在水平面上 (3) 数轴的的正向通常符合右手规则 在空间直角坐标系中
x 轴及 y 轴所确定的坐标面叫做
而 z 轴则是铅垂线
坐标面
任意两个坐标轴可以确定一个平面 这种平面称为坐标面
xOy 面 另两个坐标面是 yOz 面和 zOx 面 每一部分叫做卦限 在 xOy 面的上方
卦限
三个坐标面把空间分成八个部分 第一卦限
它位于 xOy 面的上方
第三卦限和第四卦限 V、VI 、VII 、VIII 表示
含有三个正半轴的卦限叫做
按逆时针方向排列着第二卦限、
按逆时针
在 xOy 面的下方 与第一卦限对应的是第五卦限
方向还排列着第六卦限、
第七卦限和第八卦限
八个卦限分别用字母 I、II 、III 、IV 、
向量的坐标分解式
任给向量 r 对应有点 M 棱作长方体
有
r
使 OM r 以 OM 为对角线、三条坐标轴为
OM OP PN NM OP OQ OR
江西科技学院公教部方玲玲编撰 2
设 OP xi OQ yj OR zk 则
r OM xi yj zk
上式称为向量 r 的坐标分解式 xi、 yj、 zk 称为向量 r 沿三个坐标轴方向的分向量 点 M、向量 r 与三个有序 x、 y、 z 之间有一一对应的关系
M
r OM xi yj zk
(x, y, z)
记作 r (x y z)
有序数 x、 y、z 称为向量 r( 在坐标系 Oxyz)中的坐标 向量 r OM 称为点 M 关于原点 O 的向径
④利用坐标作向量的线性运算
设 a (ax ay az) b (bx by bz)
a b (ax bx ay by az bz)
a b (ax bx ay by az bz)
a (
a
a a )
x y z
利用向量的坐标判断两个向量的平行
设 a (ax ay az) 0 b (bx by bz) 向量 b//a
bx
x
b a
即 b// a (bx
b b ) (a
y z x
y z
a a )
于是 a
by
a
y
bz
a
z
⑤向量的模、方向角、投影
设向量 r (x y z) 作 OM r 向量的模长公式
则
|r |
x2 y2 z2
设有点 A (x1 y1 z1)、 B(x2 y2 z2)
AB OB OA (x2 y2 z2 ) (x1 y1 z1) (x2 x1 y2 y1 z2 z1)
A、 B 两点 间的距离公式为：
| AB| |AB | ( x2
x1) 2 ( y2 y1)2 ( z2 z1)2
方向角： 非零向量 r 与三条坐标轴的夹角 设 r (x y z)
、 、 称为向量 r 的方向角
则 x |r|cos y |r|cos z |r|cos
cos 、 cos 、cos 称为向量 r 的方向余弦
cos
x
cos
|r |
y |r |
cos 1 r er |r |
z |r|
cos
2
2
从而
(cos , cos , cos )
cos
cos
2
1
投影的性质
性质 1 (a)u |a|cos (即 Prj ua |a|cos 性质 2 (a b)u 性质 3( a)u
) 其中
为向量与 u 轴的夹角
(a)u (b)u (即 Prju (a b) (a)u (即 Prj u( a)
Prju a Prj ub)
Prj ua)
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2、数量积、向量积、混合积
①两向量的数量积 数量积
对于两个向量 a 和 b 它们的模 |a|、 |b| 及它们的夹角 的
余弦的乘积称为向量
a 和 b 的数量积 记作 a b 即
a·b |a| |b| cos
数量积的性质
(1) a·a |a| 2
(2) 对于两个非零向量 a、 b 如果 a·b 0 则 a b; 反之 如果 a b 则 a·b 0
如果认为零向量与任何向量都垂直
则 a b
a·b 0
两向量夹角的余弦的坐标表示
设
(a ^ b) 则当 a 0、 b 0 时 有
cos
a b
axb x ayb y azbz
|a ||b|
a 2x a 2y az2 bx2 b 2y bz2
数量积的坐标表示
设 a ( ax ay az ) b (bx by bz )
则 a·b axbx ayby azbz
数量积的运算律
(1) 交换律 a·b b·a;
(2) 分配律 (a b) c a c b c
(3) ( a) ·b a·( b)
(a·b)
( a) ·( b)
(a·b) 、 为数
②两向量的向量积
向量积 设向量 c 是由两个向量 a 与 b 按下列方式定出
c 的模 |c| |a||b|sin 其中 为 a 与 b 间的夹角 ;
c 的方向垂直于 a 与 b 所决定的平面 c 的指向按右手规则从
a 转向 b 来确定那么 向量 c 叫做向量 a 与 b 的向量积 记作 a b 即
c a b
向量积的性质
(1) a a 0
(2) 对于两个非零向量
a、 b 如果 a b
0 则 a//b 反之
如果 a// b 则 a b 0
如果认为零向量与任何向量都平行
则 a// b
a b
0
数量积的运算律
(1) 交换律 a b
b a
(2) 分配律 (a b) c a c b c (3) ( a) b a ( b) (a b)
( 为数 )
数量积的坐标表示 设 a (ax ya
a )z
x b y b ( b
bz
)
a b ( ay bz
az by) i ( az bx ax bz) j ( ax by ay bx) k
为了邦助记忆
利用三阶行列式符号 上式可写成
i j k
a b a x ay az aybzi azbx j axbyk aybxk axbz j azbyi
bx by bz
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