发布时间 : 星期三 文章数值分析课后习题答案更新完毕开始阅读cd2a51ba876a561252d380eb6294dd88d0d23d30
第一章
题12 给定节点x0??1，x1?1，x2导出拉格朗日插值余项： （1） （1） （2） （2） 解 （1）f(4)?3，x3?4，试分别对下列函数
f(x)?4x?3x?2f(x)?x?2x433
f(4)(x)?0，
由拉格朗日插值余项得（2）f(x)?4!
由拉格朗日插值余项得
f(x)?p(x)?4!4!(4)f(x)?p(x)?(?)4!(x?x0)(x?x1)(x?x2)(x?x3)?0；
(x?x0)(x?x1)(x?x2)(x?x3)?(x?1)(x?1)(x?3)(x?4).
题15 证明：对于f(x)以x0，x1为节点的一次插值多项式p(x)，插值误差
f(x)?p(x)?(x1?x0)82x0?x?x1maxf??(x).
f??(?)2!(x?x0)(x?x1)证 由拉格朗日插值余项得
x0???x1， f(x)?p(x)?f??(?)2!f(x)?p(x)?，其中
(x?x0)(x?x1)?2x0?x?x1x0?x?x1maxf??(x)2!(x?x0)(x?x1)
?(x1?x0)8maxf??(x).
题22 采用下列方法构造满足条件p(0)?p?(0)?0，p(1)?p?(1)?1的插
值多项式p(x)： （1） （1） 用待定系数法； （2） （2） 利用承袭性，先考察插值条件p(0)?p?(0)?0，p(1)?1的
插值多项式p(x). 解 （1）有四个插值条件，故设p(x)?a0?a1x?a2x?a3x23，
a0???a0?a1?a2?a3?a1?2p?(x)?a1?2a2x?3a3x，代入得方程组??a1?2a2?3a3?a0??a1??a2?a3解之，得?2?0?1?0?1
?0?0?2??1
3；
（2）先求满足插值条件p(0)??p(x)?2x?x2p?(0)?0，p(1)?1的插值多项式p(x)，由
20为二重零点，可设p(x)?ax，代入p(1)?1，得a?1，?p(x)?x； 再求满足插值条件p(0)?p?(0)?0，p(1)?p?(1)?1的插值多项式p(x)，可设p(x)?x22?bx(x?1)，?p?(x)?2x?2bx(x?1)?bx22322，代入p?(1)?1，得b??1，
?p(x)?x?x(x?1)?2x?x.
题33
的三次样条函数，试确定系数b,c的值. 解 由S(1)?2得2?b?c?1?2，?b?c?1；
?3x2?2xS?(x)??2?6x?2bx?c0?x?11?x?2?x3?x20?x?1S(x)??322x?bx?cx?11?x?2是以0,1,2?设分段多项式
为节点
，由S?(1)?5得6?2b?c?5，?2b?c??1；
联立两方程，得b??2,c?3，
?6x?2S??(x)???12x?2b且此时
0?x?11?x?2，S???(1)?8?S???(1)，
S(x)是以0,1,2为节点的三次样条函数.
?2x?4y?11??3x?5y?3??x?2y?6?2x?y?7. 用最小二乘法解下列超定方程组：?2222题35
解 记残差的平方和为
f(x,y)?(2x?4y?11)?(3x?5y?3)?(x?2y?6)?(2x?y?7)
??f??0x?????x????f?36x?6y?102?0??y??0???y?令?，得??6x?92y?96?0，解之得?283027311391.
题37 用最小二乘法求形如y?a?bx的多项式，使与下列数据相拟合：
x 19 25 31 38 44 y 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8 解
2?(x)?x?(x)?100拟合曲线中的基函数为，，
?(?0,?0)?其法方程组为?(?1,?0)(?0,?1)??a??(f,?0)???????(?0,?0)??b??(f,?1)?，
其中(?0,?0)?5，(?0,?1)?(?1,?0)?5327，(?1,?1)?7277699，(f,?0)?271.4，
532?a??0.9726??547??b?285?0.05(f,?1)?369321.5，解之得?5696?，?y?0.9726?0.05x.
2
第二章
题3 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量地高，并指明求积公式所具有的代数精度：
（2） ?（2）从结论“在机械求积公式中，代数精度最高的是插值型的求积公式”出发，
01113f(x)dx?A0f()?A1f()?A2f()424
A0??10l0(x)dx??104dx?21133(?)(?)424421(x?141)(x?3)(x?1)(x?3)，
A1??10l1(x)dx??104dx??11133(?)(?)2424，
A2??10l2(x)dx??10)2dx?23313(?)(?)444241(x?1)(x?1，
??10f(x)dx?3211123f()?f()?f()343234，
当f(x)?x时，有 左边＝?10f(x)dx??10xdx?314，
，
111232131132331f()?f()?f()??()??()??()?32344右边＝343234342左边＝右边， 当f(x)?x时，有 左边＝?104f(x)dx??10xdx?415，
，
1112321411423437f()?f()?f()??()??()??()?3234192右边＝343234342左边≠右边，所以该求积公式的代数精度为3.
题8 已知数据表
x 1.1 1.3 ex1.5 4.4817 3.0042 3.6693 1.5试分别用辛甫生法与复化梯形法计算积分?1.1解 辛甫生法
edxx.
??1.51.1edx?x1.5?1.16?3.0042?4?3.6693?4.4817??1.47754；
复化梯形法
1.51.1edx?x0.22?3.0042?2?3.6693?4.4817??1.48245??.
2题17 用三点高斯公式求下列积分值解 先做变量代换，设则 ?10?1041?xdx.
x???(t??)，
41?x2dx?＝
1?141?14(t?1)2?12dt??1?184?(t?1)2dt