发布时间 : 星期日 文章2016年吉林省长春市高考数学二模试卷(理科)含答案解析更新完毕开始阅读cd67fc887275a417866fb84ae45c3b3567ecdda7
12．过双曲线x2﹣
2
=1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2=4和圆C2：（x﹣4）
+y2=1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（ ）
B．13
C．16
D．19
A．10
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线x2﹣
=1的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，
0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．
【解答】解：圆C1：（x+4）2+y2=4的圆心为（﹣4，0），半径为r1=2； 圆C2：（x﹣4）2+y2=1的圆心为（4，0），半径为r2=1， 设双曲线x2﹣
=1的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），
连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得
|PM|2﹣|PN|2=（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22） =（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）
=|PF1|2﹣|PF2|2﹣3=（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3 =2a（|PF1|+|PF2|﹣3=2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2?2c﹣3=2?8﹣3=13． 当且仅当P为右顶点时，取得等号， 即最小值13． 故选B．
【点评】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力，属于中档题．
二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.
13．已知实数x，y满足，则y﹣2x的最小值为 1 ．
【考点】简单线性规划．
【分析】画出约束条件表示的可行域，利用目标函数的几何意义，求出最小值即可． 【解答】解：根据方程组获得可行域如下图，令z=y﹣2x，可化为y=2x+z， 因此，当直线过点（1，3）时，z取得最小值为1． 故答案为：1．
【点评】本题主要考查线性规划问题，是一道常规题．从二元一次方程组到可行域，再结合目标函数的几何意义，全面地进行考查．
14．已知向量=（1，值范围是 [1，
），=（0，t2+1），则当
时，|﹣t
|的取
] ．
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角． 【分析】求出
=（0，1），再根据向量差的几何意义，求出|﹣t
|的解析式，从
而求出它的取值范围． 【解答】解：由题意，
=（0，1），
根据向量的差的几何意义，|﹣t|表示向量t的终点到向量的终点的距离d，
所以d=；
所以，当t=当t=﹣即|﹣t
时，该距离取得最小值为1，
， ]．
时，该距离取得最大值为|的取值范围是[1，
]．
故答案为：[1，
【点评】本题利用数形结合思想，考查了平面向量的几何意义，也考查了函数的最值问题以及计算求解能力的应用问题，是基础题目．
15．已知a＞0，
．
【考点】二项式定理；微积分基本定理．
【分析】由条件利用二项式展开式的通项公式求得a的值，再利用积分的运算性质、法则，求得要求式子的值． 【解答】解：由令
的展开式的通项公式为Tr+1=
?（﹣1）r?a6﹣r?
，
展开式的常数项为15，则
= =0，求得r=2，故常数项为，可得a=1，
因此原式为
=
故答案为：
．
，
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，积分的运算，是一道中档的常规问题
16．已知数列{an}中，对任意的n∈N*若满足an+an+1+an+2+an+3=s（s为常数），则称该数列为4阶等和数列，其中s为4阶公和；若满足an?an+1?an+2=t（t为常数），则称该数列为3阶等积数列，其中t为3阶公积．已知数列{pn}为首项为1的4阶等和数列，且满足
；数列{qn}为公积为1的3阶等积数列，且q1=q2=﹣1，设Sn为数列{pn?qn}
的前n项和，则S2016= ﹣2520 ． 【考点】数列的求和．
【分析】通过定义可知数列数列{pn}、数列{qn}均为周期数列，进而可知数列{pn?qn}中每12项的和循环一次，进而计算可得结论．
【解答】解：由题意可知，p1=1，p2=2，p3=4，p4=8，p5=1，p6=2，p7=4，p8=8，p9=1，p10=2，p11=4，p12=8，p13=1，…，
又pn是4阶等和数列，因此该数列将会照此规律循环下去，
同理，q1=﹣1，q2=﹣1，q3=1，q4=﹣1，q5=﹣1，q6=1，q7=﹣1，q8=﹣1，q9=1，q10=﹣1，q11=﹣1，q12=1，q13=﹣1，…，
又qn是3阶等积数列，因此该数列将会照此规律循环下去， 由此可知对于数列{pn?qn}，每12项的和循环一次， 易求出p1?q1+p2?q2+…+p12?q12=﹣15， 因此S2016中有168组循环结构， 故S2016=﹣15×168=﹣2520， 故答案为：﹣2520．
【点评】本题主要考查非常规数列求和问题，对学生的逻辑思维能力提出很高要求，属于一道难题．
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17．（12分）（2016?长春二模）已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；
（2）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a=7，若锐角A满足
，且
，求△ABC的面积．
．
【考点】余弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．
【分析】（1）运用二倍角的正弦公式和余弦公式，以及两角和的正弦公式，由正弦函数的周期公式及单调递减区间，解不等式可得；