发布时间 : 星期三 文章平面向量高中人教版更新完毕开始阅读ce23529150e2524de5187e8c
平面向量
教学目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量
与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等，进行向量计
算理解向量共线的充要条件。能用两个不共线向量表示一个向量； 或一个向量分解为两个向量。要求学生理解点P分有向线段P1P2所成的
比λ的含义和有向线段的定比分点公式，并能应用解题。
教学难点：根据图形判定向量是否平行、共线、相等，进行向量计算理解向量共线的充要条件。能用两个不共线向量表示一个向量； 或一个向量分解为两个向量。要求学生理解点P分有向线段P1P2所成的比λ的含义和有向线段的定比分点公式，
一、实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，
问：猫能否追到老鼠？（画图）
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。
A B 提出课题：平面向量
1．意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量
等
注意：1?数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大
小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
2?从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。
2． 向量的表示方法： a B 1?几何表示法：点—射线 （终点） 有向线段——具有一定方向的线段 A(起点) 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫）
2?字母表示法：AB可表示为a（印刷时用黑体字） P95 例 用1cm表示5n mail（海里）
3． 模的概念：向量AB的大小——长度称为向量的模。 A B 北 记作：|AB| 模是可以比较大小的
4． 两个特殊的向量：
1?零向量——长度（模）为0的向量，记作0。0的方向是任意的。 注意0与0的区别
2?单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。
例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？
答：不是。因为零上零下也只是大小之分。 例：AB与BA是否同一向量？
答：不是同一向量。 例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？ 答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。 二、向量间的关系：
1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
记作：a∥b∥c 规定：0与任一向量平行
2． 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
a b c 记作：a=b 规定：0=0
任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。 3． 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。
C O B A
OA=a OB=b OC=c
例：（P95）略
变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）
变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）
变式三：与向量共线的向量有哪些？（CB,DO,FE）
三、向量的加法 一、 提出课题：向量是否能进行运算？
1.某人从A到B，再从B按原方向到C，
A B C
则两次的位移和：AB?BC?AC
2、 若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，
则两次的位移和：AB?BC?AC 3、某车从A到B，再从B改变方向到C， 则两次的位移和：AB?BC?AC 4、船速为AB，水速为BC，
A B
C
C A B C
A B
则两速度和：AB?BC?AC
提出课题：向量的加法
二、1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。
注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 2．三角形法则： a a C a b b
a+b a b a+b a+b
B
强调：
1?“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点 2?可以推广到n个向量连加
A
3?a?0?0?a?a
4?不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则 3．例一、已知向量a、b，求作向量a+b 作法：在平面内取一点， 作OA?a AB?b 则OB?a?b
a b O
b
a a A b
4．加法的交换律和平行四边形法则
B
上题中b+a的结果与a+b是否相同 验证结果相同 从而得到：1?向量加法的平行四边形法则 2?向量加法的交换律：a+b=b+a 5．向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c)
证：如图：使AB?a, BC?b, CD?c
a+b+c b+c a+b a B
b c
C
D 则(a+b) +c=AC?CD?AD a+ (b+c) =AB?BD?AD ∴(a+b) +c=a+ (b+c)
A
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。
四、向量的减法
1．用“相反向量”定义向量的减法
1?“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量。记作 ?a 2?规定：零向量的相反向量仍是零向量。?(?a) = a
任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (?a) = 0 如果a、b互为相反向量，则a = ?b, b = ?a, a + b = 0 3?向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。 即：a ? b = a + (?b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。 2．用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：
若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a ? b 3．求作差向量：已知向量a、b，求作向量 ∵(a?b) + b = a + (?b) + b = a + 0 = a
a 作法：在平面内取一点O， a O 作OA= a, AB= b 则BA= a ? b
b
B b
a?b
即a ? b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。 注意：1?AB表示a ? b。强调：差向量“箭头”指向被减数 2?用“相反向量”定义法作差向量，a ? b = a + (?b)
显然，此法作图较繁，但最后作图可统一。
B’ B a ?b a+ (?b)
b a O A
b b
4．a∥b∥c B a ? b = a + (?b) a ? b
a a?b a?b O B A A B’ O B
b
a?b a a?b
A O b A ?b B B O
例一、设a表示“向东走3km”，b表示“向北走3km”，
则a + b表示向东北走32km 解：OB= OA+AB
B
a+b b
O a A