发布时间 : 星期一 文章2018届高考数学一轮复习第九章解析几何9.9直线与圆锥曲线学案更新完毕开始阅读ce400b7db6daa58da0116c175f0e7cd1842518e4
解析：分别过点A，B作AA1，BB1垂直于l，且垂足分别为A1，B1，
由|BC|＝2|BF|，得|BC|＝2|BB1|， ∴∠BCB1＝30°， 又|AA1|＝|AF|＝3， ∴|AC|＝2|AA1|＝6，
∴|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝3， ∴F为线段AC的中点．
132
故点F到准线的距离为p＝|AA1|＝，故抛物线的方程为y＝3x.
22
考点3 中点弦问题
[考情聚焦] 弦的中点问题是考查直线与圆锥曲线位置关系的命题热点． 主要有以下几个命题角度： 角度一
由中点弦确定直线方程
[典题3] [2017·江西九校联考]已知P(1,1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一条
42弦交椭圆于A，B两点，且此弦被点P平分，则此弦所在的直线方程为________．
[答案] x＋2y－3＝0
[解析] 解法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y－1＝k(x－1)，A(x1，
x2y2
y1)，B(x2，y2)．
y－1＝kx－1，??22由?xy＋＝1??42
2
2
消去y，得
(2k＋1)x－4k(k－1)x＋2(k－2k－1)＝0， 4kk－1∴x1＋x2＝， 2
2k＋1
2
4k又∵x1＋x2＝2，∴1
解得k＝－.
2
k－1
＝2， 2
2k＋1
1
∴此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，
2即x＋2y－3＝0.
解法二：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
??4＋2＝1，①则?xy??4＋2＝1，②
2
2
22
x2y211
＋
①－②得
x1＋x2
4
x1－x2y1＋y2
2
y1－y2
＝0，
∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， ∴
x1－x2
2
＋y1－y2＝0，
∴k＝
y1－y21
＝－. x1－x22
1
∴此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，
2即x＋2y－3＝0. 角度二
由中点弦确定曲线方程
[典题4] [2017·福建福州质检]抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C交于A，B两点，若P(1,1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为( )
A．y＝2x C．x＝2y [答案] B
[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 抛物线方程为y＝2px，
??y1＝2px1，则?2
?y2＝2px2，?
2
2
2
2
B．y＝2x D．y＝－2x
2
2
两式相减可得2p＝
y1－y2
×(y1＋y2)＝kAB×2＝2，解得p＝1， x1－x2
∴抛物线C的方程为y＝2x. 角度三
由中点弦解决对称问题
12
[典题5] [2015·浙江卷]已知椭圆＋y＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对
22称．
(1)求实数m的取值范围；
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)． [解] (1)由题意知m≠0， 1
可设直线AB的方程为y＝－x＋b.
2
x2
m??2＋y＝1，由?1
y＝－??mx＋b2
x2
消去y，得
?1＋12?x2－2bx＋b2－1＝0. ?2m?m??
1x422
因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b＋2＋2>0.①
m2m2mbmb?1m＋2?，将线段AB的中点M?2代入直线方程y＝mx＋解得b＝－2.② 2?22m?m＋2m＋2?由①②得m<－
66或m>. 33
2
2
2
故实数m的取值范围为?－∞，－
?
?6??6??∪?，＋∞?. 3??3?
1?6??6?
(2)令t＝∈?－，0?∪?0，?，
m?22???
342
－2t＋2t＋
2，
12
t＋
2
则|AB|＝t＋1·
2t2＋
且O到直线AB的距离为d＝2 . t＋1
12
设△AOB的面积为S(t)，所以
S(t)＝|AB|·d＝ 1212
2?21?2
－2?t－?＋2≤ ，
2?2?
12
当且仅当t＝时等号成立．
2故△AOB面积的最大值为
2. 2
[点石成金] 处理中点弦问题常用的求解方法
(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1
＋x2，y1＋y2，得斜率．
(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.
y1－y2
三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求x1－x2
[方法技巧] 求解与弦有关问题的两种方法
(1)方程组法：联立直线方程和圆锥曲线方程，消元(x或y)成为二次方程之后，结合韦达定理，建立等式关系或不等式关系．
(2)点差法：在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数．
[易错防范] 判断直线与圆锥曲线位置关系时的注意点
(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线也相交于一点．
(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外，易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．
真题演练集训
x2y2
1．[2013·新课标全国卷Ⅰ]已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点Fab的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A. ＋＝1 4536C. ＋＝1 2718答案：D
x2x2
y2y2
B. ＋＝1 3627D. ＋＝1 189
x2x2
y2
y2