发布时间 : 星期二 文章2018届高考数学一轮复习第九章解析几何9.9直线与圆锥曲线学案更新完毕开始阅读ce400b7db6daa58da0116c175f0e7cd1842518e4
0＋11
解析：直线AB的斜率k＝＝，
3－12设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
??则?xy??a＋b＝1，②
2
22
222
x2y211
2＋2＝1，①ab
2
y1－y2b2x1＋x2
①－②，得＝－2·. x1－x2ay1＋y2b22
即k＝－2×，
a－2b21∴2＝.③ a2
又a－b＝c＝9，④ 由③④得a＝18，b＝9.
∴椭圆E的方程为＋＝1，故选D.
189
2．[2014·新课标全国卷Ⅱ]设F为抛物线C：y＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A.C.33
463 32
93B. 89D. 4
2
2
2
2
2
x2y2
答案：D
33?3?解析：易知抛物线中p＝，焦点F?，0?，直线AB的斜率k＝，故直线AB的方程为y23?4?＝
3?3?219
x－?，代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－x＋＝0.设A(x1，y1) ，B(x2，y2)，则?4?3?216
212
21322
x1＋x2＝.由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12，结合图象可得O到直线ABp319的距离d＝sin 30°＝，所以△OAB的面积S＝|AB|·d＝.
2824
3．[2016·江苏卷]如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线
C：y2＝2px(p＞0)．
(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程； (2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q. ①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)； ②求p的取值范围．
??2
(1)解：抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为?，0?，
?2?
??由点?，0?在直线l：x－y－2＝0上，得－0－2＝0，即p＝4.
2?2?
所以抛物线C的方程为y＝8x.
(2)解：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)．
因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为－1，则可设其方程为y＝－x＋b.
?y＝2px，?
①证明：由?
??y＝－x＋b2
2
ppp
消去x得y＋2py－2pb＝0.(*)
2
因为P和Q是抛物线C上的相异两点， 所以y1≠y2，
从而Δ＝(2p)－4×(－2pb)>0， 化简得p＋2b>0.
方程(*)的两根为y1,2＝－p±p＋2pb，从而y0＝因为M(x0，y0)在直线l上，所以x0＝2－p. 因此，线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)． ②解：因为M(2－p，－p)在直线y＝－x＋b上， 所以－p＝－(2－p)＋b，即b＝2－2p. 由①知p＋2b>0，于是p＋2(2－2p)>0， 4
所以p<.
3
2
2
y1＋y2
2
＝－p.
?4?因此，p的取值范围是?0，?. ?3?
x2y23
4．[2016·山东卷]平面直角坐标系xOy中，椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率是，
ab2
抛物线E：x＝2y的焦点F是C的一个顶点．
2
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
①求证：点M在定直线上；
②直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．
S1
S2
a2－b23
(1)解：由题意知，＝，
a2
可得a ＝4b，
2
2
?1?因为抛物线E的焦点F?0，?， ?2?
1
所以b＝，a＝1，
2
所以椭圆C的方程为x＋4y＝1.
2
2
?m?(2)①证明：设P?m，?(m>0)． ?2?
2
由x＝2y，可得y′＝x， 所以直线l的斜率为m.
因此直线l的方程为y－＝m(x－m)，
2即y＝mx－.
2
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．
2
m2
m2
x＋4y＝1，??
联立方程?m2
y＝mx－，?2?
2
2
3
4
22
得(4m＋1)x－4mx＋m－1＝0.
4m由Δ>0，得0 4m＋1 2 3 2m因此x0＝2， 4m＋1 将其代入y＝mx－，得y0＝ 22 3 m2 －m， 2 4m＋1 2 y01因为＝－， x04m所以直线OD的方程为y＝－1??y＝－x， 4m联立方程???x＝m， 1 x. 4m 1 得点M的纵坐标yM＝－， 41 所以点M在定直线y＝－上． 4 ②解：由①知直线l的方程为y＝mx－. 2 m2 m??令x＝0，得y＝－，所以G?0，－?. 2?2? －m?m??1??2m?， 又P?m，?，F?0，?，D?2，2? ?2??2??4m＋124m＋1?1m＋1 所以S1＝·|GF|·m＝ 24 22 2 3 2 m2 2 m， 3 2 2 112m＋12m＋mm2m＋1 S2＝·|PM|·|m－x0|＝××2＝2 2244m＋184m＋1 . S124m2＋1m2＋1所以＝. 22 S22m＋1 设t＝2m＋1. 2S12t－1t＋12t＋t－1则＝＝ S2t2t2 2 11 ＝－2＋＋2， tt