发布时间 : 星期六 文章排列组合讲解更新完毕开始阅读ce6b976db84ae45c3b358c7b
解答排列、组合问题的思维模式有二：
其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”； 其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”.
分 类：“做一件事，完成它可以有n类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个 标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法. 分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成.
两 个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单独完 成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个 步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理. 在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点： 1．有限制条件的排列问题常见命题形式： “在”与“不在” “邻”与“不邻”
在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法： ⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法. ⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”. ⑶“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置. ⑷元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果. 2．有限制条件的组合问题，常见的命题形式： “含”与“不含” “至少”与“至多”
在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”.
3． 在处理排列、组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按事件的发生过程分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最基本的，也是最重要的思想方法. 1、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为（ C ） (A)25个 (B)26个 (C)36个 (D)37
根据三角形边的原理 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
可见最大的边是11 则两外两边之和不能超过22 因为当三边都为11时 是两边之和最大的时候 因此我们以一条边的长度开始分析
如果为11，则另外一个边的长度是11，10，9，8，7，6，。。。。。。1 如果为10 则另外一个边的长度是10，9，8。。。。。。2，
（不能为1 否则两者之和会小于11，不能为11，因为第一种情况包含了11，10的组合） 如果为9 则另外一个边的长度是 9，8，7，。。。。。。。3 （理由同上 ，可见规律出现） 规律出现 总数是11＋9＋7＋。。。。1＝（1＋11）×6÷2＝36 2、 （1）将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？
【解析】 每封信都有3个选择。信与信之间是分步关系。比如说我先放第1封信，有3种可能性。接着再放第2封，也有3种可能性，直到第4封， 所以分步属于乘法原则 即3×3×3×3 （2）3位旅客，到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？
【解析】跟上述情况类似 对于每个旅客我们都有4种选择。彼此之间选择没有关系 不够成分类关系。属于分步关系。如：我们先安排第一个旅客是4种，再安排第2个旅客是4种选择。知道最后一个旅客也是4种可能。根据分步原则属于乘法关系 即 4×4×4＝4^3
（3）8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本，有多少种不同的分法？ 【解析】分步来做 第一步：我们先选出3本书 即多少种可能性 C8取3＝56种 第二步：分配给3个同学。 P33＝6种
这 里稍微介绍一下为什么是P33 ，我们来看第一个同学可以有3种书选择，选择完成后，第2个同学就只剩下2种选择的情况，最后一个同学没有选择。即3×2×1 这是分步选择符合乘法原则。最常见的例子就是 1，2，3，4四个数字可以组成多少4位数？ 也是满足这样的分步原则。 用P来计算是因为每个步骤之间有约束作用 即下一步的选择受到上一步的压缩。 所以该题结果是56×6＝336
3、 七个同学排成一横排照相.（1）某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种？ （3600）【解析】 这个题目我们分2步完成
第一步： 先给甲排 应该排在中间的5个位置中的一个 即C5取1＝5 第二步： 剩下的6个人即满足P原则 P66＝720 所以 总数是720×5＝3600
（2）某乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种？（1440）【解析】 第一步：确定乙在哪个位置 排头排尾选其一 C2取1＝2
第二步：剩下的6个人满足P原则 P66＝720 则总数是 720×2＝1440
（3）甲不在排头或排尾，同时乙不在中间的不同排法有多少种？ （3120）【解析】特殊情况先安排特殊
第一种情况：甲不在排头排尾 并且不在中间的情况
去除3个位置 剩下4个位置供甲选择 C4取1＝4， 剩下6个位置 先安中间位置 即除了甲乙2人，其他5人都可以 即以5开始，剩下的5个位置满足P原则 即5×P55＝5×120＝600 总数是4×600＝2400 第2种情况：甲不在排头排尾， 甲排在中间位置 则 剩下的6个位置满足P66＝720 因为是分类讨论。所以最后的结果是两种情况之和 即 2400＋720＝3120 4）甲、乙必须相邻的排法有多少种？ （1440）【解析】相邻用捆绑原则 2人变一人，7个位置变成6个位置，即分步讨论 第1： 选位置 C6取1＝6 第2： 选出来的2个位置对甲乙在排 即P22＝2 则安排甲乙符合情况的种数是2×6＝12 剩下的5个人即满足P55的规律＝120 则 最后结果是 120×12＝1440
（5）甲必须在乙的左边（不一定相邻）的不同排法有多少种？（2520）
【解析】 这个题目非常好，我们发现一共是7个位置。位置也是对称的 无论怎么安排。甲出现在乙的左边 和出现在乙的右边的概率是一样的。 所以我们不考虑左右问题 则总数是P77＝5040 根据左右概率相等的原则 则排在左边的情况种数是5040÷2＝2520 4、用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数. （1）能组成多少个四位数？ （300）
【解析】 四位数 从高位开始到低位 高位特殊 不能排0。 则只有5种可能性 接下来3个位置满足P53原则＝5×4×3＝60 即总数是 60×5＝300 （2）能组成多少个自然数？ （1631）
【解析】自然数是从个位数开始所有情况 分情况 1位数： C6取1＝6 2位数： C5取2×P22＋C5取1×P11＝25 3位数： C5取3×P33＋C5取2×P22×2＝100 4位数： C5取4×P44＋C5取3×P33×3＝300 5位数： C5取5×P55＋C5取4×P44×4＝600 6位数： 5×P55＝5×120＝600 总数是1631 这里解释一下计算方式 比如说2位数： C5取2×P22＋C5取1×P11＝25
先从不是0的5个数字中取2个排列 即C5取2×P22 还有一种情况是从不是0的5个数字中选一个和0搭配成2位数 即C5取1×P11 因为0不能作为最高位 所以最高位只有1种可能 （3）能组成多少个六位奇数？ （288）
【解析】高位不能为0 个位为奇数1，3，5 则 先考虑低位，再考虑高位 即 3×4×P44＝12×24＝288 （4）能组成多少个能被25整除的四位数？ （21）
【解析】 能被25整除的4位数有2种可能 后2位是25： 3×3＝9 后2位是50： P42＝4×3＝12 共计9＋12＝21 （5）能组成多少个比201345大的数？ （479）
【解析】 从数字201345 这个6位数看 是最高位为2的最小6位数 所以我们看最高位大于等于2的6位数是多少？ 4×P55＝4×120＝480 去掉 201345这个数 即比201345大的有480－1＝479 （6）求所有组成三位数的总和. （32640）
【解析】每个位置都来分析一下 百位上的和：M1=100×P52(5+4+3+2+1) 十位上的和：M2=4×4×10(5+4+3+2+1) 个位上的和：M3=4×4(5+4+3+2+1) 总和 M＝M1+M2+M3=32640
5、生产某种产品100件，其中有2件是次品，现在抽取5件进行检查. （1）“其中恰有两件次品”的抽法有多少种？ （152096）
【解析】 也就是说被抽查的5件中有3件合格的 ，即是从98件合格的取出来的 所以 即C2取2×C98取3＝152096
（2）“其中恰有一件次品”的抽法有多少种？ （7224560）
【解析】同上述分析，先从2件次品中挑1个次品，再从98件合格的产品中挑4个 C2取1×C98取4＝7224560
（3）“其中没有次品”的抽法有多少种？ （67910864） 【解析】则即在98个合格的中抽取5个 C98取5＝67910864 （4）“其中至少有一件次品”的抽法有多少种？ （7376656） 【解析】全部排列 然后去掉没有次品的排列情况 就是至少有1种的 C100取5－C98取5＝7376656
（5）“其中至多有一件次品”的抽法有多少种？ （75135424）
【解析】所有的排列情况中去掉有2件次品的情况即是至多一件次品情况的 C100取5－C98取3＝75135424
1．4名男歌手和2名女歌手联合举行一场音乐会，出场顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，共有出
场方案的种数是 A．6A3
3
B．3A3
3（ D ） C．2A3
3D．A22A4A414
2．编号为1，2，3，4，5，6的六个人分别去坐编号为1，2，3，4，5，6的六个座位，其中有且只有两个
人的编号与座位编号一致的坐法有 （ C ） A．15种 B.90种 C．135种 D．150种
3．从6位男学生和3位女学生中选出4名代表，代表中必须有女学生，则不同的选法有（ D ） A．168 B．45 C．60 D．111
4．氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一，某肽链由7种不同的氨基酸构成，若只改变其中3
种氨基酸的位置，其他4种不变，则不同的改变方法共有 （ C ） A．210种 B．126种 C．70种 D．35种
5．某校刊设有9门文化课专栏,由甲,乙,丙三位同学每人负责3个专栏,其中数学专栏由甲负责,则不同的分
2332工方法有C8 （ C ） C6C3/C2?280 A．1680种 B．560种 C．280种 D．140种
6．电话号码盘上有10个号码，采用八位号码制比采用七位号码制可多装机的门数是（ C ）
A．
87 A10?A10
B．C10D．C88-C10
7
C．108?107
8108A7．已知集合A={1，2，3，4}，集合B={﹣1，﹣2}，设映射f: A→B，若集合B中的元素都是A中元素在
f下的象，那么这样的映射f有 （ A ） A．16个 B．14个 C．12个 D．8个 8．从图中的12个点中任取3个点作为一组，其中可
33 构成三角形的组数是 C12?4?3C4?204 （ C ） A．208 C．200 C1C1A2?12.
322B．204 D．196
9．由0，1，2，3这四个数字可以组成没有重复数字且不能被5整除的四位数的个数是（ B ） A．24个 B．12个 C．6个 D．4个
10．假设200件产品中有3件次品，现在从中任取5件，其中至少有2件次品的抽法有（ B ）
A．C3C198种 C．(C20054-C197)种 23 B．(C3C197D．(C2005232?C33C197)种
4?C13C197)种
11．把10个相同的小球放入编号为1，2，3的三个不同盒子中，使盒子里的球的个数不小于它的编号数，
则不同的放法种数是 （ B ）
13232 A．C6 B．C6 C．C9 D．2C9 12.下面是高考第一批录取的一份志愿表： 志 愿 学 校 专 业 1 第一志愿 第1专业 第2专业 2 第二志愿 第1专业 第2专业 3 第三志愿 第1专业 第2专业 现有4所重点院校，每所院校有3 个专业是你较为满意的选择，如果表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有不同的填写方法的种数是（ D ）
A．43?(A3)3 B．43?(C3)3 C．A4?(C3)3 D．A4?(A3)3
542A5?A4A2?
223232二、填空题（本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果.）
13．由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字，且数字1与2不相邻的五位数有__72___个．
14．一电路图如图所示，从A到B
共有 条不同的线路可通电.
1212123(C2?C2)(C2?C2)?1?(C3?C3?C3)?17. 15．８名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组,每组各４人,分别进行单循环赛,
每组决出前两名,再由每组的第一名与另外一组的第二名进行淘汰赛,获胜者角逐
冠亚军,败者角逐第三,第四名,则该大师赛共有____ 场比赛. 22C4?C4?2?1?15. 16．用红、黄、蓝、绿、黑5种颜色给如图的a、b、c、d四个区域染色，若相邻的区域不能用相同的颜色，
试问：不同的染色方法的种数是多少？180
17．7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种
不同的排法？
(1)7人站成一排，要求较高的3个学生站在一起；
(2)7人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看，身高逐个递减； (3)任取6名学生，排成二排三列，使每一列的前排学生比后排学生矮．（1）
111363=140 A2A2A2?8; （3）C7C6?C343A4A3?144; （2）
18．4位学生与2位教师并坐合影留念，针对下列各种坐法，试问：各有多少种不同的坐法？(1)教师必须
坐在中间；(2)教师不能坐在两端，但要坐在一起；(3)教师不能坐在两端，且不能相邻． 解法１ 固定法：从元素着眼，把受限制的元素先固定下来．
24ⅰ) 教师先坐中间，有A2种方法； ⅱ) 学生再坐其余位置，有A4种方法．
∴ 共有
A2A42·4＝48种坐法．
解法２ 排斥法：从位置着眼，把受限制的元素予先排斥掉．
42ⅰ) 学生坐中间以外的位置：A4； ⅱ) 教师坐中间位置：A2．
解法３ 插空法：从元素着眼，让不受限制的元素先排好（无条件），再让受限制元素按题意插入
42到允许的位置上．ⅰ) 学生并坐照相有A4种坐法； ⅱ) 教师插入中间：A2．
解法４ 淘汰法（间接解法）：先求无条件限制的排法总数，再求不满足限制条件的排法数，然后作差．即“A＝全体-非A”.
62A4ⅰ) 6人并坐合影有A6种坐法； ⅱ) 两位教师都不坐中间：A4 （先固定法）·4； 114ⅲ) 两位教师中仅一人坐中间； A2(甲坐中间) · A4(再固定乙不坐中间) · A4· 2（甲、乙互换）； 62ⅳ) 作差：A6-（A4114A4AAA+24244）
解法５ 等机率法：如果每一个元素被排入，被选入的机会是均等的，就可以利用等机率法来解．将教师
5看作1人（捆绑法），问题变成5人并坐照相，共有A5种坐法，而每个人坐中间位置的机会是均等的，应占所有坐法的1/5，即教师1人坐中间的坐法有
15225A5A2即A5种． 55(2) 将教师看作1人，问题变为5人并坐照相． 解法１ 从位置着眼，排斥元素——教师. 先从4位学
232生中选2人坐两端位置：A4；其他人再坐余下的3个位置：A3；教师内部又有A2种坐法. ∴ 共
232有 A4A3A2＝144种坐法．
1解法2 从元素着眼,固定位置. 先将教师定位：A34坐法.(3) 解 插空法：（先排学生）A44241A2AAAA；再排学生：. ∴ 共有24243种
2A3 (教师插空).