发布时间 : 星期日 文章5.3不等式的证明更新完毕开始阅读ce75d95f4b73f242336c5f85
5.3 不等式的证明
三维目标 1.知识与技能
会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等证明一些简单的不等式 2.过程与方法
认识到利用代数恒等变换以及放大、缩小是证明不等式的常用方法 3.情感、态度与价值观
通过证明不等式的训练进一步培养逻辑推理论证能力，培养分析问题、解决问题的能力。 学法指导
证明不等式就是要证明所给不等式在给定条件下恒成立，由于不等式的形式多种多样，所以证明不等式的方法也就灵活多样，具体问题具体分析是证明不等式的精髓。证明的关键在于分析欲证的不等式的特点，选择适当的方法。
比较法：比较法是最基本、最重要的方法。当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法；当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法；碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。
综合法：从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式。综合法的放缩经常用到均值不等式。
分析法：不等式两边的联系不够清楚，通过寻找不等式成立的充分条件，逐步将欲证的不等式转化，直到寻找到易证或已知成立的结论。
反证法：
第一步 作出与所证不等式相反的假设
第二步 从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立.
放缩法：把要证的不等式的一边适当地放大（或缩小）以利化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立. 教学重点、难点
1、重点：证明不等式的常用方法
2、难点：证明不等式时方法的选取及均值不等式的应用和放缩尺度的掌握 课时安排
本课题安排3课时
1
第一课时 证明不等式的方法—比较法 学习目标
（1）理解用比较法证明不等式的理论依据，掌握比较法证明不等式的步骤 （2）培养学生利用化归思想解决数学问题的能力 教学过程 一、复习回顾
比较两个实数大小的基本方法――差值比较法 ①依据：实数的运算性质与大小顺序之间的关系 ②步骤：作差 变形 符号 结论 ③用途：
a、比较两个实数的大小 b、证明不等式的性质 c、证明不等式和解不等式 二、数学应用
3322
例1 已知a、b都是正数，且a≠b，求证：a + b > ab + ab
33223232
证一：a + b － （ab + ab）＝（a－ ab） +（ b － ab）
22222
＝a(a－b) + b(b－a) = (a－b)(a－b) = (a + b)(a－b) ∵a、b都是正数， ∴a + b > 0
2
又∵a≠b， ∴(a－b) >0
2
∴ (a + b)(a－b) > 0
3322
即 a + b － （ab + ab）＞0 3322∴a + b > ab + ab
小结：当不等式
a3?b3(a?b)(a2－ab?b2)(a－b)2?ab(a－b)2证二：2???1?的两边的差能分解因
ab(a?b)ababab?ab2式或能配成平方和的2(a－b)?a、b都是正数，且a?b ?(a－b)2?0,ab?0 ??0形式，则选择作差比较
ab法；当不等式的两边都
(a－b)2a3?b33322?1??1,即2?1，又a?b?0,ab?ab?0是正数且它们的商能abab?ab2与1比较大小，则选择
?a3?b3?a2b?ab2作商比较法。
abba
例2已知a > b > 0,求证：ab > ab 证明： aba－bab?a?a－bb－a ?ab???baab?b?
a ?a?b?0?a－b?0,?1b a－b?a??1，即aabb?abba ????b?
2
变：已知a > b > c > 0,求证：abc > abc
a?bb?ca?c a2ab2bc2c?a??b??a???????? ab?cbc?aca?b?b??c??c?aba a?b?0?a?b?ca?c,a?c?0,?a?b?cb?0,b?c?0?1,?1,?1a??b??a?bcc ???1,???1,???1???b??c??c?
a?bb?ca?caba?????? ????????1b??c??c??
2a2b2cb?ca?ca?b?abc?abc
例3 甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走，乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果m≠n，问甲、乙两人谁先到达指定地点？
分析：先建立甲、乙两人走完全程所用的时间t1、t2的表达式，再比较t1、t2的大小，已知行走速度，设出发点至指定地点的路程是S，即可求出t1、t2的关系式。
解：设出发点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完全程所用的时间分别为t1、t2，依题意有
t1tSS m?1n?S,??t2222m2n
2SS(m?n)?t1?,t2?
m?n2mn 2SS(m?n)t?t??12 m?n2mn2 S4mn??m?n?? 2mn(m?n)2 S?m?n??? 2mn?m?n?其中S、m、n老都是正数，且m≠n，于是t1－t2＜0，即t1＜t2，从而甲比乙先到达指定地点。
三、总结提炼
数学思想：等价转化
数学方法：比较法—作差、作商 知识点：比较法：
（1）依据：实数的运算性质与大小顺序之间的关系
（2）步骤：①作差法：作差→变形→判断差值与0的大小关系
②作商法：作商→变形→判断商值与1的大小关系（各项为正）
四、作业：P20 习题5.3 1、2、3 教学后记：
2a2b2cb+cc+aa+b
?? 3
第二课时 证明不等式的方法—综合法和分析法 学习目标
⑴了解综合法的意义及综合法证明不等式的逻辑关系，能用综合法证明不等式. ⑵了解分析法证明不等式的逻辑关系，学会用分析法证明不等式 ⑶培养学生利用综合法进行推理论证的能力 教学过程 一、设置情境
2 22
证明不等式： a+ b + c ≥ ab + bc + ca （学生练习师巡视不同证法投影展示）
2 222 222
证一：∵a+ b + c －( ab + bc + ca) = (a－2ab + b )/2 + (b － 2bc + c)/2+ 22 222
(c －2ca+ a)/2 = (a－b)/2 + (b－c)/2 + (c－a)/2≥0
2 22
∴a+ b + c ≥ ab + bc + ca
2 2222 2
证二：∵a+ b ≥ 2ab， 同理b + c ≥ 2bc ， a+ c ≥ 2 ca
2 222 22
∴2(a+ b + c )≥ 2(ab + bc + ca) 即a+ b + c ≥ ab + bc + ca
点评：证法一是比较法，证法二是从已成立的事实出发，经过正确推理，得到要证的结论，这种利用某些已证明过的不等式作为基础，再根据不等式的性质推导出欲证的不等式的方法叫做综合法。 二、建构数学 1.综合法：
利用某些已证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出欲证的不等式成立。这种证明方法叫做综合法
逻辑关系是：A?B1?B2???Bn?B
已知（逐步推演不等式成立的必要条件）结论。其思路是“由因导果”即从“已知”，推出已知的“性质”，从而逐步向“未知”。 2.分析法
（1）证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。如果能肯定这些充分条件都已具备，那么就可以判定原不等式成立。这种证明不等式的方法叫做分析法。
（2）分析法是从结论入手，逆求使它成立的充分条件，直到和已知条件沟通为止。即：从未知，看需知，逐步靠拢已知。（执果索因） （3）用分析法论证“若A则B”这命题的模式是： 要证命题B为真 只需证命题B1为真 只需证命题B2为真 ??????? 只需证命题A为真 今知A为真 故B必真
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