发布时间 : 星期五 文章2020中考数学二轮新优化复习 第二部分 专题综合强化 专题5 与四边形有关的证明与计算针对训练更新完毕开始阅读ce9f443cea7101f69e3143323968011ca200f747
经典
第二部分 专题五
1．(2018·北京)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点
C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE.
(1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若AB＝5，BD＝2，求OE的长． (1)证明：∵AB∥CD， ∴∠OAB＝∠DCA. ∵AC为∠DAB的平分线， ∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB. ∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形． ∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形． (2)解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，BD⊥AC. ∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC. 1
∵BD＝2，∴OB＝BD＝1.
2在Rt△AOB中，AB＝5，OB＝1， ∴OA＝AB－OB＝2，∴OE＝OA＝2.
2．(2017·柳州)如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD边上的点，BE和AF交于点O，且AE＝DF.
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(1)求证：△ABE≌△DAF；
(2)若BO＝4，OE＝2，求正方形ABCD的面积. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAE＝∠D＝90°.
AB＝DA，??
在△ABE和△DAF中，?∠BAE＝∠ADF，
??AE＝DF，
∴△ABE≌△DAF(SAS)．
(2)解：∵△ABE≌△DAF，∴∠ABE＝∠FAD.
经典
又∵∠FAD＋∠BAO＝90°， ∴∠ABO＋∠BAO＝90°，
∴∠AOB＝∠EAB＝90°，∴△ABO∽△EBA， ∴
ABBO＝. EBBAAB4
∵BO＝4，OE＝2，∴＝，
6AB∴AB＝24，∴正方形ABCD的面积是24.
3．(2017·百色)矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，CE，AF分别交BD于G，H两点．
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求证：(1)四边形AFCE是平行四边形； (2)EG＝FH.
证明：(1)∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC.
∵E，F分别是AD，BC的中点， 11
∴AE＝AD，CF＝BC，∴AE＝CF，
22∴四边形AFCE是平行四边形． (2)∵四边形AFCE是平行四边形， ∴CE∥AF，∴∠DGE＝∠AHD＝∠BHF. ∵AD∥BC，∴∠EDG＝∠FBH， ∠DGE＝∠BHF，??
在△DEG和△BFH中，?∠EDG＝∠FBH，
??DE＝BF，∴△DEG≌△BFH(AAS)，∴EG＝FH.
4．(2018·玉林适应性考试) 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.点P是AC上动点，∠CAB＝∠
CAD，且AB＝10，cos∠CAB＝.
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(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若点E是AB边上动点，连接PB，PE，求线段PE＋PB的最小值． (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，∴∠CAB＝∠DCA.
∵∠CAB＝∠CAD，∴∠DCA＝∠CAD，∴CD＝AD，
经典
∴四边形ABCD是菱形．
(2)解：如答图，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点P，连接BP，此时线段PE ＋PB的值最小，
且PE＋PB＝DE. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，BD＝2BO， ∴∠AOB＝90°.
OA4
∵AB＝10，cos∠CAB＝＝，
AB5
4
∴AO＝AB＝8，
5∴BO＝6，BD＝2BO＝12. ∵∠DEB＝∠AOB＝90°， ∴∠BDE＝∠OAB，
448
∴DE＝DB·cos∠BDE＝12×＝，
5548
∴线段PE＋PB的最小值为.
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5．(2016·贵港)如图1，在正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点
A作AH⊥EF，垂足为H.
(1)如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG. ①求证：△AGE≌△AFE； ②若BE＝2，DF＝3，求AH的长．
(2)如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N.请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由.
解：(1)①证明：由旋转的性质知AF＝AG， ∠DAF＝∠BAG.
∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°. 又∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°. ∴∠BAG＋∠BAE＝45°，∴∠GAE＝∠FAE.
经典
AG＝AF，??
在△AGE和△AFE中，?∠GAE＝∠FAE，
??AE＝AE，
∴△GAE≌△FAE(SAS)．
②∵△GAE≌△FAE，AB⊥GE，AH⊥EF， ∴AB＝AH，GE＝EF＝5.
设正方形的边长为x，则EC＝x－2，FC＝x－3. 在Rt△EFC中，EF＝FC＋EC，
即(x－3)＋(x－2)＝25，解得x＝6(负值已舍去)． ∴AB＝6，∴AH＝6.
(2)解：MN＝ND＋BM.理由：如答图所示． 将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′.
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∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABD＝∠ADB＝45°. 由旋转的性质可知，
∠ADM′＝∠ABM＝45°，BM＝DM′. ∴∠NDM′＝90°，∴NM′＝ND＋DM′. ∵∠EAM′＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠EAF＝∠FAM′＝45°.
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AM＝AM′，??
在△AMN和△ANM′中， ?∠MAN＝∠M′AN，
??AN＝AN，
∴△AMN≌△AM′N(SAS)．∴MN＝M′N. 又∵BM＝DM′，∴MN＝ND＋BM.
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