发布时间 : 星期一 文章2021版文科数学全国通用版一轮复习第九章 解析几何第8节 第2课时更新完毕开始阅读ceecb8070408763231126edb6f1aff00bfd57074
第九章 解析几何
第八节 直线与圆锥曲线的综合问题 第2课时 圆锥曲线中的范围、最值问题
A级·基础过关|固根基|
1.抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为( ) A.2 C．22
72
B.8 52D.6 |x－y－2|
2
＝|－x2＋x－2|
2
解析：选B 设抛物线上一点的坐标为(x，y)，则d＝??1?27??－?x－?－?4???2?
＝，
2
172
∴当x＝2时，dmin＝8. 2．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A，B两点，且|AB|＝4，这样的直线可以作2条，则p的取值范围是( )
A．(0，4) C．(0，2]
B．(0，4] D．(0，2)
解析：选D 过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦中最短的为通径，且通径长为2p，由已知得2p<4，所以p<2.又p>0，所以0 x2y2 3．若点O和点F分别为椭圆4＋3＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的→·FP→的最大值为( ) 任意一点，则OP A．2 C．6 B．3 D．8 解析：选C 由题意得，F(－1，0)，设点P(x0，y0)，则≤2)． x20??2 y0＝3?1－?(－2≤x0 ? 4? 2x0??1→→2222 则OP·FP＝x0(x0＋1)＋y0＝x0＋x0＋y0＝x0＋x0＋3?1－4?＝4(x0＋2)2＋2. ?? →·FP→取得最大值，最大值为6，故选 因为－2≤x0≤2，所以当x0＝2时，OPC. x2y2 4．过椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的右顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另12 一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为左焦点F，若4 ?13?A.?3，4? ??3?? C.?0，4? ?? ?13?B.?3，4? ???1?D.?3，1? ?? b2?? 解析：选B 由题意知，B?－c，－a?， ??a－c12 所以k＝＝a＝1－e.又4 c＋a1213所以4<1－e<3，解得3 5．已知点P是双曲线C：2－y＝1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|＋|PQ|的最小值为( ) A．1 15 C．4＋5 15 B．2＋5 D．22＋1 b2a 解析：选D 设F2是双曲线C的右焦点，因为|PF1|－|PF2|＝22，所以|PF1|＋|PQ|＝22＋|PF2|＋|PQ|，显然当F2，P，Q三点共线且P在F2，Q之间时，|PF2| ＋|PQ|最小，且最小值为F2到l的距离．易知l的方程为y＝xx 或y＝－，F2(3，22 |3±0| 0)，则F2到l的距离为d＝＝1，故|PF1|＋|PQ|的最小值为22＋1.故选D. 3 x22 6．已知P(x0，y0)是椭圆C：4＋y＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，→·PF→<0，则x的取值范围是________． 若PF120 →·PF→＝(x＋3)(x－3) 解析：由题意可知，F1(－3，0)，F2(3，0)，则PF1200 22＋y0＝x20＋y0－3<0.因为点 P在椭圆上，所以 x202 y0＝1－.所以 4 2x0?2?x0＋?1－?－3<0， ?4? 2626?2626? ?. 解得－3 3，3?? ?2626? ? 答案：?－ 3，3?? x2y2 7．过双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为________． x2y2 解析：由过双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双b 曲线的右支交于两点，可得a<2， c∴e＝a＝ a2＋b2a2<1＋4＝5. ∵e>1，∴1 ∴此双曲线离心率的取值范围为(1，5)． 答案：(1，5) x2y2→|＝1， 8．已知动点P(x，y)在椭圆25＋16＝1上，若A点的坐标为(3，0)，|AM→·AM→＝0，则|PM→|的最小值是________． 且PM →·AM→＝0，∴AM→⊥PM→， 解析：∵PM →→→→ ∴|PM|2＝|AP|2－|AM|2＝|AP|2－1. ∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小， →|＝2，∴|PM→|＝3. 故|APminmin答案：3 x2y26 9．已知椭圆M：a2＋b2＝1(a>b>0)的离心率为3，焦距为22.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B. (1)求椭圆M的方程； (2)若k＝1，求|AB|的最大值． ??c6 解：(1)由题意得?a＝3，??2c＝22. a2＝b2＋c2， 解得a＝3，b＝1. x22 所以椭圆M的方程为3＋y＝1. (2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)． y＝x＋m，?? 由?x22得4x2＋6mx＋3m2－3＝0. ＋y＝1??33m2－33m 所以x1＋x2＝－2，x1x2＝4. |AB|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2 ＝2[（x1＋x2）2－4x1x2] ＝12－3m2 . 2 当m＝0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为6. 10．如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在抛物线C上．