发布时间 : 星期日 文章2021版高考数学一轮复习 第十章 概率 第2讲 古典概型高效演练分层突破 文 新人教A版更新完毕开始阅读cf39200f59f5f61fb7360b4c2e3f5727a4e924cd
第2讲 古典概型
[基础题组练]
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )
2A. 32C. 5
3B. 51D. 5
解析：选B.设3只测量过某项指标的兔子为A，B，C，另2只兔子为a，b，从这5只兔子中随机取出3只，则基本事件共有10种，分别为(A，B，C)，(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，a)，(A，C，b)，(A，a，b)，(B，C，a)，(B，C，b)，(B，a，b)，(C，a，b)，其中“恰有2只测量过该指标”的取法有6种，分别为(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，a)，63
(A，C，b)，(B，C，a)，(B，C，b)，因此所求的概率为＝，选B.
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2．(2020·济南市模拟考试)2019年1月1日，济南轨道交通1号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动．市民可以通过济南地铁APP抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王、小张、小刘、小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王被选中的概率为( )
2
A. 31C. 3
1B. 21D. 4
解析：选B.从四人中随机选两人的所有情况有(小王、小张)，(小王、小刘)，(小王、小李)，(小张、小刘)，(小张、小李)，(小刘、小李)，共6种，其中小王被选中的情况有(小1
王、小张)，(小王、小刘)，(小王、小李)，共3种，故小王被选中的概率P＝，故选B.
2
3．在集合A＝{2，3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1，2，3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x＋y＝9内部的概率为( )
1A. 23C. 4
1B. 32D. 5
2
2
解析：选B.点P(m，n)共有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，6种
1
2122
情况，只有(2，1)，(2，2)这2个点在圆x＋y＝9的内部，所求概率为＝.
63
4．(2020·唐山市摸底考试)在边长为1的正五边形的五个顶点中，任取两个顶点，则两顶点间距离大于1的概率为( )
1A. 51C. 2
2B. 53D. 5
解析：选C.如图，正五边形ABCDE的边长为1，任取两个顶点，有AB，AC，AD，AE，
BC，BD，BE，CD，CE，DE.共10种可能，其中两顶点间距离为1的情况有AB，BC，CD，DE，EA，余下的情况两顶点间距离均大于1，各有5种可能，所以任取两顶点，两顶点间距离大
51
于1的概率P＝＝，故选C.
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5．(2019·高考江苏卷)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ．
解析：记3名男同学为A，B，C，2名女同学为a，b，则从中任选2名同学的情况有(A，
B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共
10种，其中至少有1名女同学的情况有(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，
b)，(a，b)，共7种，故所求概率为.
7
答案： 10
?1?1
6．设a∈{1，2，3}，b∈?，4，6?，则函数y＝logb是减函数的概率为 ．
x?2?
7
10
a11b解析：因为f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数，又函数y＝logb是减函数，所以＞
xaxa?1?b1114
1，因为a∈{1，2，3}，b∈?，4，6?，则＝，，，，2，3，4，6，共8个值，其中
a6423?2?
b415
满足＞1的有，2，3，4，6，共5个值，所以函数y＝logb是减函数的概率为. a3x8
a 2
5答案： 8
7．(2020·长春市质量检测(一))长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学子的高度赞誉，在第二季“名师云课”中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计如下：
点击量 节数 [0，1 000] 6 (1 000，3 000] 18 (3 000，＋∞) 12 (1)现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3 000的节数； (2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[0，1 000]内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1 000，3 000]内，则需要花费20分钟进行剪辑，若点击量超过3 000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的6节课中任意选出2节课进行剪辑，求剪辑时间为40分钟的概率．
6解：(1)根据分层抽样，从36节云课中选出6节课，其中点击量超过3 000的节数为
36×12＝2.
(2)在(1)中选出的6节课中，点击量在区间[0，1 000]内的有1节，点击量在区间(1 000，3 000]内的有3节，
设点击量在区间[0，1 000]内的1节课为A1，点击量在区间(1 000，3 000]内的3节课分别为B1，B2，B3，点击量超过3 000的2节课分别为C1，C2.
从中选出2节课的方式有A1B1，A1B2，A1B3，A1C1，A1C2，B1B2，B1B3，B1C1，B1C2，B2B3，B2C1，
B2C2，B3C1，B3C2，C1C2，共15种，其中剪辑时间为40分钟的情况有A1C1，A1C2，B1B2，B1B3，B2B3，共5种，则剪辑时间为40分钟的概率P＝＝. 8．在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，5.甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．
(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率；
(2)若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6，则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？
解：用(x，y)(x表示甲摸到的数字，y表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的
51
153
3
基本事件，则基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共25个．
(1)设甲获胜的事件为A，则事件A包含的基本事件有：(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，10
1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，共10个．故所求概率P(A)＝
252＝. 5
(2)设甲获胜的事件为B，乙获胜的事件为C.事件B所包含的基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，共10个．
1023
则P(B)＝＝，所以P(C)＝1－P(B)＝.
2555因为P(B)≠P(C)，所以这样规定不公平．
[综合题组练]
1．一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为x，y，z，当且仅当y>x ，y>z时，称这样的数为“凸数”(如243)，现从集合{1，2，3，4)中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为( )
2
A. 31C. 6
1B. 31D． 12
解析：选B.从集合{1，2，3，4}中取出三个不相同的数组成一个三位数共有24个结果：123，124, 132, 134, 142, 143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432，其中是“凸数”的是132，142，143，231，81
241，243，341，342，共8个结果，所以这个三位数是“凸数”的概率为＝，故选B.
243
2．(2020·湖南省湘东六校联考)如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正十边形
A1A2A3，…，A10的中心，A1在x轴正半轴上，任取不同的两点Ai，Aj(其中1≤i，j≤10，且i∈N，j∈N)，点P满足2OP＋OAi＋OAj＝0，则点P落在第二象限的概率是( )
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