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学派。
在苏维埃拓扑学家的工作里，点集拓扑学的发展得到本质上的全新的方向，特别是杰出的、但不幸夭折的苏联数学家Ⅱ.C.乌利逊（1898-1924）所建立的一般维数论，使最一般的点集都能按基本特征-维数来分类，这种分类极其有成效，并引起了以全新的一种观点来研究最为广义的几何形状。乌利逊在他的维数理论中所发展的思想，也成为使Ⅱ.A.刘斯铁尔尼克在变分数学方面卓越的工作所赖以产生的基础。
在这些工作里里除了其他结果以外，还对庞加莱关于在一切同胚于全球的曲面是否必然存在三条无重点闭测地线的问题给予了彻底的解决。
另一方面，在维数理论的基础上，Ⅱ.C.亚历山大洛夫把组合拓扑学里的代数方法移植到点集论的领域里来，而后又引出了拓扑学研究的新方向，在这方面，直到最年轻一代的数学家，原苏联都始终最领先。
至于组合拓扑学本身，大约在1915年前后，美国的拓扑学者魏布伦、比尔可夫、亚历山大、莱夫舍次等人开始了以系列的研究。例如亚历山大证明了伯蒂数的拓扑不变性以及他自己的基本对偶定理，后者是邦特里雅金进一步深入的出发点；莱夫舍次给出了关于流形上任意自我连续映像的不动点代数总数的著名公式，并建立了连续映像一般代数理论的基础，后来又为霍普进一步发展；比尔可夫在科学上的功绩是把动力系统的理论在它的拓扑方面与度量方面作了本质的推进，等等。流拓扑学以及连续映像的理论在霍普的工作里得到深远的发展，和一些别的结果一样，他证明存在无穷多个实质上互异的从三维球面到二维球面的连续映像。所谓两个连续映像实质上互异，是指不能经过连续的变动把他们中的一个变为另一个。这样霍普就奠定了一个新方向的基础，就是所谓的同伦论。近年来，在同伦论里，或者更一般的说，在整个组合拓扑学里，有新兴法国拓扑学派（莱雷，谢尔）工作的影响而获得了巨大的跃进。
拓扑学是几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们之间度量性质。拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质都无关。举例来说，在通常平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化，仍可视作等价。在拓扑学中没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑点和线的个数。这些就是拓扑学思考问题的出发点。
拓扑性质有哪些呢？首先我们介绍拓扑等价，这是比较容易理解的一个拓扑性质。在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是在讨论拓扑等价的概念。比如，尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同，在拓扑变换下，它们都是等价图形。换句话讲，就是从拓扑学的角度看，它们是完全一样的。
在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来，这样球面就被这些线分成许多块。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的数目一样，这就是拓扑等价。一般地说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的变换就是拓扑变换，就存在拓扑等价。应该指出，环面不具有这个性质。比如把环面切开，它不至于分成许多块，只是变成一个弯曲的圆桶形，对于这种情况，我们就说球面不能拓扑的变成环面。所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓扑性质。在
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拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。
我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。但德国数学家莫比乌斯（1790~1868）在1858年发现了莫比乌斯环曲面。这种曲面就不能用不同的颜色来涂满两个侧面。
拓扑学建立后，由于其他数学发展需要，它也得到了迅速的发展。特别是黎曼创立黎曼几何后，他把拓扑学概念作为解析论的基础，更加促进了拓扑学的发展。
二十世纪以来，集合论被引进了拓扑学，为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应用集合来论述。
因为大量自然现象具有连续性，所以拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性。通过拓扑学的研究，可以阐明空间的集合结构，从而掌握空间之间的函数关系。比如，一致性结构概念、抽象距概念和近似空间概念等等。有一门数遍学分支叫做微分几何，是用微分工具来研究曲线、曲面等在一点附近的弯曲情况，而拓扑学是研究曲面的全局联系的情况，因此，这两门学科应该存在某种本质的联系。1945年，美籍中国数学家陈省身建立了代数拓扑和微分几何的联系，并推进了整体几何学的发展。
拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显地分成了两个分支。 一个分支是今生于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学，或者叫做分析拓扑学。另了一个分支是偏重于用代数方法来研究的，叫做代数拓扑。现在，这两个分支又有统一的趋势。
1.2 拓扑学的应用
数学可以粗略地分为连续性与离散性的两大门类。拓扑学对于边续性数学自然是带有根本意义的，对于离散性也起着巨大的推动作用。拓扑学的基本内容已经成为现代数学工作者的常识，拓扑学被广泛应用于其他数学分支。
拓扑学中的纤维理论（是拓扑乘积的推广）和微分几何中的联络论一起为理物理学中杨-米尔斯规范场论提供了现成的数学框架，犹如20世纪初黎曼几何学对爱因斯坦相对论的作用。规范场的研究又促进了四维的微分拓扑学出人意料的进展。
拓扑学对于分析学的现代发展起了极大的推动作用。随着科学技术的发展，需要研究各式各样的非线性现象，分析学更多地求助于拓扑学。微分拓扑学的进步，促进了分析学向流行上的分析学（又称大范围分析学）发展。在托姆的影响下，微分映射的结构稳定性理论和奇点理论已发展成为重要的分支科学。在多复变函数论方面，来自代数拓扑的层论已经成为基本工具。
拓扑学的需要大大刺激了抽象代数学的发展，并且形成了两个新的代数学分支：同调代数与代数K理论。代数几何学从50年代以来已经完全改观。托姆的协边论直接促使代数簇的黎曼-罗赫定理的产生。
范罪行与函子的观念，是在概括代数拓扑的方法论时形成的。范畴论对各种代数结构进行了统一的研究，对拓扑学本身也有影响，如拓扑斯的观念大大拓广了经典的拓扑空间观念。
拓扑学方法和“不动点定理”，是现代经济学理论研究的重要工具。1983年度诺贴心尔经济学奖励获得者德布鲁教授谁一般经济均衡的存在性，1994年度
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诺贴心尔经济奖励获得者纳什教授谁博弈论纳什均衡的存在性，靠的都是拓扑学方法和不动点定理。所以，要了解现代经济学的前沿发展，需要掌握拓扑学方法和不动点定理。在现代数理经济学中，诸如经济的数学模型，均衡的存在性等根本问题都序曲不开代数拓扑学、微分拓扑学、大范围分析的工具。在系统论、对策论、规划论、网络论中拓扑学也都有重要应用。
托姆以微分拓扑学中微分映射的奇点理论为基础创立了突变理论，为从量到质变的转化提供了各种数学模式。在物理学、化学、生物学、语言学等方面已经有不少应用。
第二章 预备知识
本节参照文献[1]，即熊金城所编著的点集拓扑讲义（第三版）一书。
1.1 记号和术语
为了统一起见，本文采用了通用的记号和术语。
∈：表示元素与集合的关系，如：x∈X ， x∈{x}等 ：表示集合与集合的关系，如：A号即是通常数学课本中的)
：表示与上述相反的含义．
=：表示两个集合相等，如：A=B（等价于
）
B （等价于
）(这个记
≠:表示两个集合不相等，如：A≠B（等价于或者存在x∈A使得x）
以下的这个定理等价于形式逻辑中的相应命题，从直觉着去看也是自明的． 定理2.1.1 设A，B，C都是集合，则 （l）A＝A；
（2）若A＝B，则B＝A；
（3）若A＝B，B=C，则A＝C． 定理2.1.2 设A，B，C都是集合，则 （l）AA；
（2）若AB，BA，则A＝B； （3）若AB，BC，则AC． 证明 （l）显然．
（2）AB意即：若x∈A，则x∈B；
BA意即：若x∈B，则x∈A．这两者合起来正好就是A＝B的意思． （3）x∈A．由于AB，故x∈B；又由于B C，从而x∈C． 综上所述，如果x∈A就有x∈C．此意即AC．
以集为元素的集称谓集族，或简称族。设Γ是一个集合．如果对于每一个γ∈Γ，指定了一个集合A，我们就说给定了一个有标集族于引起混淆的情形下干脆说给定了一个集族
，或者在不至
，同时Γ称为（有标）集族
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的指标集．
2.2 度量空间和连续映射
定义2.2.1 设X是一个集合，ρ：X×X→R．如果对于任何 x，y，z∈X，有
（1）（正定性），ρ(x,y)≥0并且ρ(x,y)＝0当且仅当x=y； （2）(对称性)ρ(x,y)=ρ(y,x)； （3）（三角不等式）ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z) 则称ρ是集合X的一个度量．
如果ρ是集合X的一个度量，称（X，ρ）是一个度量空间，或称X是一个对于ρ而言的度量空间．有时，或者度量ρ早有约定，或者在行文中已作交代，不提它不至于引起混淆，这时我们称X是一个度量空间．此外，对于任意两点x，y∈X，实数ρ(x，y)称为从点x到点y的距离．
定义2.2.2 设（X，ρ）是一个度量空间，x∈X．对于任意给定的实数ε＞0，集合
{y∈X|ρ（x，y）<ε}
记作B（x，ε），或
，称为一个以x为中心以ε为半径的球形邻域,
简称为x的一个球形邻域，有时也称为x的一个ε邻域．
定义2.2.3 设A是度量空间X的一个子集．如果A中的每一个点都有一个球形邻域包含于A（即对于每一个a∈A，存在实数ε＞0使得B（a，ε）A，则称A是度量空间X中的一个开集．
定义2.2.4 设x是度量空间X中的一个点，U是X的一个子集．如果存在一个开集V满足条件：x∈VU，则称U是点x的一个邻域．
定义2.2.5 设X和Y是两个度量空间，f:X→Y，以及的任何一个球形邻域B（f(得f(B（
，δ）)
B（f（
),ε），存在
∈X如果对于f(
)
的某一个球形邻域B（，δ），使
），ε），则称映射在点处是连续的．
如果映射f在X的每一个点x∈X处连续，则称f是一个连续映射．
2.3 拓扑空间与连续映射
定义2.3.1 设X是一个集合，T是X的一个子集族．如果T满足如下条件： （l）X，
∈T ；
（2）若A，B∈T ，则A∩B∈T ； （3）若
则称 T是X的一个拓扑．
如果T是集合X的一个拓扑，则称偶对（X，T）是一个拓扑空间，或称集合X是一个相对于拓扑T而言的拓扑空间；此外T的每一个元素都叫做拓扑空
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