发布时间 : 星期四 文章1993年全国初中数学联赛试题及答案（修正版）更新完毕开始阅读cf8416fc844769eae109ed4d
1993年全国初中数学联赛试题
一、选择题
1．多项式x12－x6＋1除以x2－1的余式是（ ）
A．1 B．－1 C．x－1 D．x＋1
2．对于命题：Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形．Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形．以下四个结论中正确的是（ ）
A．Ⅰ、Ⅱ都对 B．Ⅰ对、Ⅱ错 C．Ⅰ错、Ⅱ对 D．Ⅰ、Ⅱ都错 3．设x是实数，y＝|x－1|＋|x＋1|，下列四个结论：
Ⅰ. y没有最小值． Ⅱ. 只有一个x使y取到最小值．
Ⅲ. 有有限多个(不止一个)x使y取到最小值． Ⅳ. 有无究多个x使y取到最小值． 其中正确的是（ ） A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ 4．实数x1，x2，x3，x4，x5满足方程组
D．Ⅳ
其中a1，a2，a3，a4，a5是常数，且a1＞a2＞a3＞a4＞a5，则x1，x2，x3，x4，x5的大小顺序是（ ）
A．x1＞x2＞x3＞x4＞x5 B．x4＞x2＞x1＞x3＞x5 C．x3＞x1＞x4＞x2＞x5 D．x5＞x3＞x1＞x4＞x2
5．不等式x－1＜(x－1)2＜3x＋7的整数解的个数（ ）
A．等于4 B．小于4 C．大于5 D．等于5
6．如图，在△ABC中，∠A是钝角，O是垂心，AO＝BC， 则cos(∠OBC＋∠OCB)的值是（ ）
A.-B.C.2 22 2?x1?x2?x3?a1??x2?x3?x4?a2??x3?x4?x5?a3?x?x?x?a514?4??x5?x1?x2?a5O
E A B
D
F C
3 21D.-
2
7．如图，锐角三角形ABC的三边是a，b，c， 它的外心到三边的距离分别为m，n，p， 那么m∶n∶p 等于（ ） A.
111：： abcB
m n
C O
p
B．a∶b∶c
C．cosA∶cosB∶cosC D．sinA∶sinB∶sinC
?421?8．33?3?3?3?可以化简为（ ）
99??9?1A A.33(32?1) B.33(32?1) C.32?1 D.32?1
二、填空题
3x2?6x?51.当x变化时,分式的最小值是_________.
12x?x?12
2．放有小球的1993个盒子从左到右排成一行，如果最左面的盒里有7个小球，且每四个相邻的盒里共有30个小球，那么最右面的盒里有______个小球．
3．若方程(x2－1)(x2－4)＝k有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则k＝______．
4．如图，锐角三角形ABC中，∠A＝30°，以BC边为直径作圆， 与AB、AC分别交于D、E，连接DE，把三角形ABC分成 三角形ADE与四边形DBCE，设它们的面积分别为S1、S2， 则S1∶S2＝______．
D B
E C A
三、解答题
1. 如图，设H是等腰三角形ABC的垂心，在底边BC保持不变的情况下，让顶点A至底边BC的距离变小，这时乘积S△ABC·S△HBC 的值变小，变大，还是不变？证明你的结论． A
H B C
2. 如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝12，AB＝13．在边AB，AC分别取点D、E，使线段DE将△ABC分成面积相等的两部分，试求这样的线段的最小长度． B
D
C E
3. 已知方程x2＋bx＋c＝0及x2＋cx＋b＝0分别各有两个整数根x1，x2和x1＇，x2＇，且x1x2＞0，x1＇x2＇＞0．
(1) 求证：x1＜0，x2＜0，x1＇＜0，x2＇＜0； (2) 求证：b－1≤c≤b＋1； (3) 求b、c所有可能的值．
A
一九九三年全国初中数学联赛参考答案
一、选择题
1．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．A 7．C 8．D 二、填空题
7
（1）4 （2）7 （3） （4）3
4三、解答题
1. 解法一 不妨设角A是锐角，边结AH并延长交BC于D点，延长BH，CH，分别交AC，AB于E，F， ∵∠BHD＝∠AHE， ∴∠HBD＝∠HAE．
因此，Rt△BDH∽Rt△ADC， ∴
ACDC＝ BDHD
1
又∵BD＝DC＝ BC
21
∴AD ?HD＝BD ?DC＝ BC2
4
111
于是，S△ABC·S△HBC＝（ AD ?BC）?（ HD ?BC）＝ BC?
2216
当∠A≥90°时，同理可证上式也成立．由于BC是不变的，所以当A点至BC的距离变小时，乘积S△ABC·S△HBC保持不变．
解法二 作图如解一，再延长AD至G，使DG＝DH，并分别连结BG、GC，由△HBD≌△GBD知，
∠CBG＝∠CBH＝∠CAG，因而A，B，G，C四点共圆． 1
由相交弦定理，得AD ? HD＝AD ?GD＝BD ? DC＝ BC2
4111
因此，S△ABC·S△HBC＝（ AD ? BC）?（ HD ? BC）＝ BC?
2216
由于BC是不变的，所以当点A至BC的距离变小时，乘积S△ABC·S△HBC保持不变．
2. 解由52＋122＝132知△ABC是直角三角形．
1
S△ABC＝×5×12＝30 设AD＝x，AE＝y
21
由于S△ADE＝xysinA＝30，sinA＝30，xy＝78
2
由余弦定理知：DE2＝x2＋y2－2xycosA＝(x－y)2＋2xy(1－y)2＋2xy(1－cosA) 12
＝(x－y)2＋2×78·（1－）＝(x－y)2＋12≥12
13
当x＝y时，上式等号成立，此时DE＝12＝23达到最小值．
3. (1)假如x1＞0，则由x1x2＞0知x2＞0．对于已知两个方程用韦达定理得x1＋x2＝－b＝－x1＇x2＇，这与已知x1x2＞0，x1＇x2＇＞0矛盾．因此x1＜0，x2＜0．同理，x1＇＜0，x2＇＜2．
(2)由韦达定理及x1＜0，x2＜0，有c－(b－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＝(x1＋1)(x2＋1)≥0， 所以c≥b－1．
对于方程x2＋cx＋b＝0进行同样讨论，得b≥c－1． 综合以上结果有b－1≤c≤b＋1． (3)根据(2)的结果可分下列情况讨论：
①当c＝b＋1时，由韦达定理有x1 x2＝－x1－x2＋1，从而 (x1＋1)(x2＋1) ＝2. 由于x1、x2都是负整数，故
?x1?1??1?x1?1??2 ，? ?x?1??2x?1??1?2?2由此算出b＝5，c＝6．经检验b＝5，c＝6符合题意．
②当c＝b时，有x1x2＝－(x1＋x2)，从而(x1＋1)(x2＋1)＝1．因此x1＝x2＝－2．故b＝c＝4．经检验b＝c＝4符合题意．
③当c＝b－1时,b＝c＋1对方程x2＋cx＋b＝0作①类似讨论，得b＝6，c＝5 综上所得三组值：??b?5?b?6?b?4，?，? ?c?6?c?5?c?4