发布时间 : 星期六 文章2014-2015学年度第一学期《高等数学AI》期末考试试卷(1)更新完毕开始阅读d008af91f605cc1755270722192e453611665b16
天津理工大学考试试卷 2014～2015学年度第一学期 《高等数学 AI》期末考试试卷
课程代码： 1590116 试卷编号： 1-A 命题日期： 2014年 11月 1日 答题时限： 120 分钟 考试形式：闭卷、笔试 得分统计表： 大题号 总分 阅卷教师
一 二 三 四 五 核查人签名 一、单项选择题（从4个备选答案中选择最适合的一项，每小题2分，共20分）
得分 1、x?0时，下列无穷小中，（ B ）是等价无穷小
A、1?cosx与 x； C、arccosx与 x；
2 B、sinx?tanx与 x；
D、2x?x与 x?x.
24222、圆线x?acost，y?asint，从t?0到t??的一段弧的长度为（ C ）
t D、? A、?3atdt； B、?asintcostdt； C、?ad；
0 0 ?2 ? ? ? 0 02(1?t2)dt.
3、由曲线y?ex，y?e?2x及直线x??1所围成图形的面积是（B）.
12313133e?e?； B. e2?e?1?； C. e2?e?1?； D. e2?e?1?. 2222222324、设f(x)?x?ax?bx在x??1处有极小值1，则（ C ）
A、a?b?1； B、a??1,b?1； C、a?1,b??1； D、a??1,b??1.
A.
?A，则（ C ） f(x)?limg(x)?0，且lim5、若f(x)与g(x)可导，limx?ag(x)x?ax?af(x)A、必有limx?af?(x)?B存在，且?g(x)f?(x)limA?B； B、必有x?ag?(x)?B存在，且A?B；
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f?(x)lim?B存在，C、若x?a?则
g(x)f?(x)lim?B存在，A?B； D、若x?a?不一定有
g(x)A?B.
6、函数f(x)??x02?t1?etdt在区间 （ C ）单调增加.
A、[ 2 , ??) ； B、[ ?2 , ??) ； C、(-? , 2) ； D、(-? , ??) . 7、若数列xn有极限a，???0，在a的?邻域之外，数列中的点（ B ） A、必不存在； B、至多有有限多个；
C、必定有无穷多个； D、可以有有限也可以有无限多个.
8、设函数y?f(x)在点x?x0处的某一邻域内具有三阶连续的导数，且
f?(x0)?f??(x0)?0,f???(x0)?0，则函数y?f(x)在点x?x0处（ C ）
A、有极大值； B、有极小值； C、有拐点； D、无极值也无拐点. 9、下列反常积分收敛的是 （ C ）
?? ??1 ?? ??3dxA、? sinxdx； B、?lnxdx； C、?； D、x? 1dx. 1x2 1 110、已知三平面?1，?2，?3的方程为?1:x?5y?2z?1?0，?2:3x?2y?5z?8?0，
?3:4x?2y?3z?9?0，则必有( B ).
A、?1与?2平行 ； B、?1与?3垂直； C、?2与?3垂直； D、?2与?3平行.
二、填空题（每空3分，共30分）
得分 tan3xln(1?4x)f()?15 。
x?0xx1、设f(x)处处连续，且f(4)?5 ，则 lim2、若f(x)为可导的奇函数，且f?(x0)?6，则f?(?x0)= 6 . 3、若?f(x)dx?xarctanx?C，则f(x)=arctanx?x. 21?x4、设f(x)?(x?a)(x?b)(x?c)(x?d)，则方程f?(x)?0有 3 个实根。 5、设f(x)在[a,b]上连续、可微，且f(a)?f(b)?0，?f(x)dx?1 a b，则? a bxf?(x)dx?-1.
(n?3)5?(2n?1)5336、 lim. ?n??(2n?3)2(n?9)34?x?y?z?D?07、若直线?与x轴有交点，则D? -3 .
?2x?2y?2z?6?0试卷编号 1-A 第2页 共4页-
8、设x?x(y)由方程y?x?lnx?0确定，则
dxdyy?1?1 . 29、设函数y?x(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)(x?5)，则f?(0)?-5！. 10、设f(x)满足f(x)?1?x?x?f(t)dt，则f(x)?1?x2?201?2x。
三、计算题（每小题7分， 共28分）
得分 tanx?sinx。
x?0x2(ex?1)1、求 lim12x?xtanx(1?cosx)tanx?sinx2?1 ? lim解： lim2x ? limx?0x?0x(e?1)x?0x3x322、求由曲线y?1和直线y?4x，x?2，y?0所围平面图形绕x轴旋转所成旋转体的体积. x?y?4x1?解：先求交点，由 ?1 得交点(,2)并作图.
2y??x?V???1201231312163212(4x)dx???1()dx??(x|0?)|1??(?)??.
3263x22x223、已知f(x)的一个原函数为xlnx，求?xf?(x)dx.
解：解法：?xf?(x)dx??xdf(x)?xf(x)??f(x)dx?x(lnx?1)?xlnx?C?x?Cf(x)?lnx?1，f?(x)?。
解法2：
11，?xf?(x)dx??x?dx??dx?x?C
。xx4、设y?y(x)是由方程ey?xsiny?1所确定的隐函数，求函数曲线y?y(x)在点M( 1 , 0 )的切线方程.
解：方程两边对x求导，得 ey?y??siny?x?cosy?y??0（1），将x?1，y(1)?0代入（1）得y?(0)?0，所求切线方程为y?0.
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四、解下列各题（每小题8分， 共16分）
得分 1、过点M(1,1,1 )做平面，使它与两已知平面?1:x?y?z?1?0和?2:3x?4y?2z?5?0都垂直.
?i?j?k?解：取n?n1?n2?11??? 1??6i?5j?k，由点法式有?6(x?1)?5(y?1)?(z?1)?0，
34?2整理得6x?5y?z?0.
?1 x?0? 2?1?x2、已知f(x)??，求?f(x?1)dx
01?x?0x??1?e 111dx dx解： ?f(x?1)dxt?x?1?f(t)dt??f(x)dx=?+? 01?x -11?ex 0 -1 -1 2 1 1 0 111?ex?exx01dx?[x?ln(1?e)]dxln(1?x)=?++?10=ln(1?e) . x? 0 -11?x1?e 0
五、证明题（本题6分）
得分 1 1设f(x)在[0,1]上可导，且满足等式f()?4?2xf(x)dx?0，试证在(0,1)内至少存在一点
02存在?，使得 f?(?)??f(?)?。
1证明：设F(x)?xf(x)，由积分中值定理，有??(0,)，使得
22?xf(x)dx??f(?)?F(?)?120111f()?F() . 22211F(x)在[?,]上满足罗尔定理条件， 至少存在一点??(?, )?(0 , 1)，
22使F?(?)?f(?)??f?(?)?0， 即f?(?)??f(?)?.
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