发布时间 : 星期三 文章2020年高考数学一轮复习教案 第5章 第2节 等差数列及其前n项和更新完毕开始阅读d0c63bed504de518964bcf84b9d528ea81c72f7a
第二节 等差数列及其前n项和
[考纲传真] 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．
1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．
(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝等差中项．
2．等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}和{a2n＋1}也是等差数列，公差为2d. (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (7)等差数列的前n项和公式与函数的关系
a＋b2，其中A叫做a，b的
nn－1dna1＋an2＝2. d??
Sn＝n＋?a1－?n.
2?2?
d2
[常用结论]
1．等差数列前n项和的最值
在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn有最大值，即所有正项之和最大，若a1＜0，
d＞0，则Sn有最小值，即所有负项之和最小．
2．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则有＝3．等差数列{an}的前n项和为
??Sn???Sn，则数列?也是等差数列． ??n??
anS2n－1
. bnT2n－1
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.
( )
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的． ( )
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．( ) (4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数． [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．(教材改编)等差数列11,8,5，…，中－49是它的第几项( ) A．第19项 C．第21项
B．第20项 D．第22项
( )
C [由题意知an＝11＋(n－1)×(－3)＝－3n＋14，令－3n＋14＝－49得n＝21，故选C.]
3．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于( ) A．－1 B．0
C．1 D．6
B [a2，a4，a6成等差数列，则a6＝0，故选B.] 4．小于20的所有正奇数的和为________．
100 [小于20的正奇数组成首项为1，末项为19的等差数列，共有10项，因此它们的和S10＝
10
1＋19
2
＝100.]
5．(教材改编)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝________. －1 [由S2＝S6得a3＋a4＋a5＋a6＝0，即a4＋a5＝0，又a4＝1，则a5＝－1.]
等差数列基本量的运算
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a6＋a18＝54，S19＝437，则a2 018的值是( ) A．4 039 B．4 038 C．2 019 D．2 038 A [设等差数列{an}的公差为d，由题意可知 ?2a1＋22d＝54，?
?19a1＋171d＝437，
?a1＝5，解得?
?d＝2，
所以a2 018＝5＋2017×2＝4 039，故选A.]
2．(2019·武汉模拟)已知数列{an}是等差数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，则数列{an}的公差d等于( )
A．－1 B．－2
C．－3
D．－4
?a1＋a7＝2a1＋6d＝－8，
C [由题意知?
?a2＝a1＋d＝2.?d＝－3，解得?
?a1＝5，
故选C.]
3．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有一女子擅长织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女子最后一天织布的尺数为( )
A．18 B．20
C．21 D．25
C [用an表示第n天织布的尺数，由题意知， 数列{an}是首项为5，项数为30的等差数列． 30所以即
a1＋a302
＝390，
305＋a30
2
＝390，解得a30＝21，故选C.]
4．设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝__________. －72 [设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
?a＝a＋11d＝－8，
由已知，得?9×8
S＝9a＋d＝－9，
2?
12
1
9
1
?a1＝3，解得?
?d＝－1.
∴S16＝16×3＋
16×15
×(－1)＝－72.] 2
[规律方法] 等差数列运算问题的通性通法 1等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n组求解. 项和公式转化为方程2等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题. 等差数列的判定与证明 311
【例1】 已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝
5an－1an－1(n∈N*)．
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．
1
[解] (1)证明：因为an＝2－(n≥2，n∈N)，bn＝(n∈N*)，
an－1an－1
*
1
11
所以bn＋1－bn＝－ an＋1－1an－111
＝－ 1?an－1?
?2－?－1
an??＝
anan－1
－
1
＝1. an－1
15
又b1＝＝－.
a1－12
5
所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列．
27
(2)由(1)知bn＝n－，
2