发布时间 : 星期二 文章高考理科数学二轮复习专题限时训练导数的简单应用更新完毕开始阅读d1368b4327c52cc58bd63186bceb19e8b8f6ec24
专题限时集训(十三) 导数的简单应用
[专题通关练] (建议用时：30分钟)
2
1．(2019·深圳二模)已知函数f(x)＝ax2＋(1－a)x＋x是奇函数，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的倾斜角为( )
π
A.4 πC.3
3πB.4 2πD.3
2
B [函数f(x)＝ax2＋(1－a)x＋x是奇函数， 2
可得f(－x)＝－f(x)，可得a＝0，f(x)＝x＋x，
2
f′(x)＝1－x2，即有曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为k＝1－2＝－1，可得切3π
线的倾斜角为4，故选B.]
2．若x＝2是函数f(x)＝(x2－2ax)ex的极值点，则函数y＝f(x)的最小值为( )
－
2
A．(2＋22)e
2
B．0 D．－e
C．(2－22)e
C [∵f(x)＝(x2－2ax)ex， ∴f′(x)＝[x2＋(2－2a)x－2a]ex，
由题意可知f′(2)＝0，即a＝1.∴f(x)＝(x2－2x)ex. ∴f′(x)＝(x2－2)ex， 由f′(x)＝0得x＝±2.
2
－
2
又f(2)＝(2－22)e，f(－2)＝(2＋22)e，且f(2)＜f(－2)．故选C.]
3．[易错题](2019·长春二模)已知f′(x)是函数f(x)的导函数，f(1)＝e，x∈R,2f(x)－f′(x)＞0，则不等式f(x)＜e2x－1的解集为( )
A．(－∞，1)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，e) f?x?
B [令g(x)＝e2x，
D．(e，＋∞)
e2xf′?x?－2e2xf?x?f′?x?－2f?x?
则g′(x)＝＝，
e4xe2x∵2f(x)－f′(x)＞0， ∴g′(x)＜0， ∴g(x)递减，
f?x?1ef?1?
不等式f(x)＜e2x－1?e2x＜e＝e2＝e2 ?g(x)＜g(1)?x＞1，故选B.]
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4．[易错题]若函数f(x)＝3x3＋x2－3在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是( )
A．[－5,0) C．[－3,0)
B．(－5,0) D．(－3,0)
C [由题意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2,0)上是减函数，作出其图象如图所示．
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令3x3＋x2－3＝－3得，x＝0或x＝－3，则结合图?－3≤a＜0，象可知?
?a＋5＞0，
解得a∈[－3,0)，故选C.]
5．已知函数f(x)在R上可导，且f(x)＝4x－x3f′(1)＋2f′(0)，则?1f(x)dx＝________.
?0393 [∵f(x)＝4x－xf′(1)＋2f′(0)， 4
∴f′(x)＝4－3x2f′(1)，
令x＝1得f′(1)＝4－3f′(1)，即f′(1)＝1. 令x＝0得f′(0)＝4. ∴f(x)＝4x－x3＋8.
14
x39???2
∴?1f(x)dx＝?1(4x－x＋8)dx＝?2x－4＋8x??＝4.] ???0??
3
0
0
11
6．已知函数f(x)＝3x3－2mx2＋4x－3在区间[1,2]上是增函数，则实数m的取值范围为________．
11
(－∞，4] [由函数f(x)＝3x3－2mx2＋4x－3，可得f′(x)＝x2－mx＋4， 11
由函数f(x)＝3x3－2mx2＋4x－3在区间[1,2]上是增函数，可得x2－mx＋4≥0在区间[1,2]上恒成立，
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可得m≤x＋x，又x＋x≥2可得m≤4.]
[能力提升练] (建议用时：15分钟)
7．已知常数a≠0，f(x)＝aln x＋2x. (1)当a＝－4时，求f(x)的极值；
(2)当f(x)的最小值不小于－a时，求实数a的取值范围． [解](1)由已知得f(x)的定义域为(0，＋∞)， a＋2xa
f′(x)＝x＋2＝x. 2x－4
当a＝－4时，f′(x)＝x.
所以当0＜x＜2时，f′(x)＜0，即f(x)单调递减； 当x＞2时，f′(x)＞0，即f(x)单调递增．
所以f(x)只有极小值，且当x＝2时，f(x)取得极小值f(2)＝4－4ln 2. 所以当a＝－4时，f(x)只有极小值4－4ln 2. (2)因为f′(x)＝
a＋2xx，
4x·x＝4，当且仅当x＝2时取等号，
所以当a＞0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0， 即f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，没有最小值； a
当a＜0时，由f′(x)＞0得，x＞－2，
?a?
所以f(x)在?－2，＋∞?上单调递增；
??a
由f′(x)＜0得，x＜－2， a??
所以f(x)在?0，－2?上单调递减．
???a?
所以当a＜0时，f(x)的最小值为f?－2?
???a?
＝aln?－2?－a.
??
?a??a?
根据题意得f?－2?＝aln?－2?－a≥－a，
????即a[ln(－a)－ln 2]≥0.
因为a＜0，所以ln(－a)－ln 2≤0，解得a≥－2， 所以实数a的取值范围是[－2,0)．
ex
8．(2019·武汉模拟)已知函数f(x)＝x－a(x－ln x)． (1)当a≤0时，试求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在(0,1)内有极值，试求a的取值范围． [解](1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． ex?x－1?1??
f′(x)＝x2－a?1－x?
??ex?x－1?－ax?x－1?
＝，
x2?ex－ax??x－1?＝.
x2
当a≤0时，对于x∈(0，＋∞)，ex－ax＞0恒成立， 所以由f′(x)＞0，得x＞1；由f′(x)＜0，得0＜x＜1. 所以f(x)的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)． (2)若f(x)在(0,1)内有极值， 则f′(x)＝0在(0,1)内有解． ?ex－ax??x－1?
令f′(x)＝＝0，
x2ex
即e－ax＝0，即a＝x.
x