发布时间 : 星期五 文章2016届北京市朝阳区高三上学期期末联考数学(理)试题 Word版含答案[ 高考]更新完毕开始阅读d14ac3b10042a8956bec0975f46527d3240ca6e1
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（Ⅱ）若k?4，求a1的所有取值的集合； （Ⅲ）若k是偶数，求a1的最大值（用k表示）．
北京市朝阳区2015-2016学年度第一学期期末高三年级统一考试
数学答案（理工类） 2016．1
一、选择题：（满分40分） 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 D 5 A 6 C 7 A 8 B 二、填空题：（满分30分） 题号 答案 9 10 11 12 12 13 14 1:1:1 4:2:3 π，?1 4 42 4 （注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A，则
13C3?C72?C30?C749P(A)??. 3C1060所以选出的3名同学来自班级的概率为
49． ……………………………5分 60（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，则
31C30?C7C3?C72217； P(X?0)??； P(X?1)??33C1024C1040130C32?C7C3?C771P(X?2)??P(X?3)??； ． 33C1040C10120所以随机变量X的分布列是
X P 0 1 2 3 7 2421 40珍贵文档
7 401 120专业文档
随机变量X的数学期望
E(X)?0?721719?1??2??3??． …………………………13分 2440401201016．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为cos?ADB??又因为?CAD?272，所以sin?ADB?． 1010??，所以?C??ADB?．
44???所以sin?C?sin(?ADB?)?sin?ADB?cos?cos?ADB?sin
444?722224 ………………………7分 ????．
102102574?AC?sin?C25ADAC??22． ?（Ⅱ）在?ACD中，由，得AD?sin?ADC72sin?Csin?ADC10所以S?ABD?1172AD?BD?sin?ADB??22?5??7． …………13分 221017．（本小题满分13分）
（Ⅰ）证明：因为底面ABCD是菱形，所以AB∥CD． 又因为AB?面PCD，CD?面PCD，所以
AB∥面PCD．
又因为A,B,E,F四点共面，且平面ABEFI平面PCD?EF，
所以AB∥EF． ………………………5分 （Ⅱ）取AD中点G，连接PG,GB．
因为PA?PD，所以PG?AD． 又因为平面PAD?平面ABCD， 且平面PADI平面ABCD?AD，
所以PG?平面ABCD．所以PG?GB． 在菱形ABCD中，因为AB?AD， ?DAB?60?，G是AD中点， 所以AD?GB．
xzPFGADCByE 如图，建立空间直角坐标系G?xyz．设PA?PD?AD?2a，
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则G(0,0,0),A(a,0,0)，
B(0,3a,0),C(?2a,3a,0),D(?a,0,0),P(0,0,3a)．
又因为AB∥EF，点E是棱PC中点，所以点F是棱PD中点．所以E(?a,3a3a,)，22uuuruuura3a3a3aa3aF(?,0,)．所以AF?(?,0,)，EF?(,?,0)．
222222uuur?z?3x,???n?AF?0,设平面AFE的法向量为n?(x,y,z)，则有?uuu所以?r3
x.??y??n?EF?0.3?令x?3，则平面AFE的一个法向量为n?(3,3,33)．
uuur因为BG?平面PAD，所以GB?(0,3a,0)是平面PAF的一个法向量．
uuuruuurn?GB3a13因为cos
解：函数f(x)定义域x?(0,??)，f?(x)?a?1． x13． ……………………13分 13 （Ⅰ）因为f(x)在区间[1,2]上为增函数，所以f?(x)?0在x?[1,2]上恒成立， 即f?(x)?a?11?0，a??在x?[1,2]上恒成立， xx则a??. ………………………………………………………4
分
（Ⅱ）当a??e时，f(x)??e x?lnx,f?(x)?（ⅰ）令f?(x)?0，得x?1． e?ex?1． x1211令f?(x)?0,得x?(0,)，所以函数f(x)在(0,)单调递增．
ee11令f?(x)?0,得x?(,??)，所以函数f(x)在(,??)单调递减．
ee111所以，f(x)max?f()??e??ln??2．
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所以f(x)?2?0成立． …………………………………………………9分 （ⅱ）由（ⅰ）知， f(x)max??2， 所以|f(x)|?2． 设g(x)?1?lnxlnx3． ?,x?(0,??).所以g?(x)?2x2x 令g?(x)?0，得x?e．
令g?(x)?0,得x?(0,e)，所以函数g(x)在(0,e)单调递增， 令g?(x)?0,得x?(e,??)，所以函数g(x)在(e,??)单调递减；
所以，g(x)max?g(e)?lne313????2， 即g(x)?2． e2e2lnx3?． x2 所以|f(x)|?g(x) ，即|f(x)|?所以，方程|f(x)|?19．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由题意可知a2?4，b2?lnx3?没有实数解． ……………………………14分 x248，所以c2?a2?b2?． 33所以e?c66．所以椭圆C的离心率为． …………………………3分 ?a33（Ⅱ）若切线的斜率不存在，则l:x??1．
x23y2 在??1中令x?1得y??1．
44uuuruuur不妨设A(1,1),B(1,?1)，则OA?OB?1?1?0．所以OA?OB．
同理，当l:x??1时，也有OA?OB． 若切线的斜率存在，设l:y?kx?m，依题意mk2?1?1，即k2?1?m2．
?y?kx?m222由?2，得(3k?1)x?6kmx?3m?4?0．显然??0． 2?x?3y?43m2?46km设A(x1,y1)，B(x2,y2),则x1?x2??2，x1x2?．
3k2?13k?1所以y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?k2x1x2?km(x1?x2)?m2.
uuuruuur所以OA?OB?x1x2?y1y2?(k2?1)x1x2?km(x1?x2)?m2
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