发布时间 : 星期五 文章浙江省宁波市余姚市2015年高考数学三模试卷(理科)更新完毕开始阅读d14ee1f1a76e58fafbb003a0
点评: 本题考查求数列的通项,考查求数列和的范围,注意解题方法的积累,属于中档题. 2
20.(14分)(2015?余姚市三模)已知函数f(x)=x+|x+1﹣a|,其中a为实常数 (Ⅰ)判断f(x)在上的单调性
(Ⅱ)若存在x∈R,使不等式f(x)≤2|x﹣a|成立,求a的取值范围. 考点: 函数单调性的判断与证明;函数的最值及其几何意义. 专题: 分类讨论;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)去掉绝对值,讨论函数f(x)的单调性,从而得出f(x)在上的单调性; (Ⅱ)根据题意,讨论x的取值,把不等式f(x)≤2|x﹣a|去掉绝对值,求出使不等式有解的a的取值范围. 解答: 解:(Ⅰ)∵函数f(x)2=x+|x+1﹣a|=,
其中a为实常数; ∴当x≥a﹣1时,f(x)2=x+x+1﹣a,它的图象是抛物线的一部分, 对称轴是x=﹣, 若a≤,则a﹣1≤﹣, ∴在x≥﹣时,f(x)是增函数, ∴f(x)在上单调递增; 若>a>, 则>a﹣>﹣, ∴f(x)在上是增函数; 当x<a﹣1时,f(x)=x﹣x﹣1+a,它的图象是抛物线的一部分, 对称轴是x=, 若a≥,则a﹣1≥, ∴在x≤时,2
f(x)是减函数, ∴f(x)在上单调递减; 若>a>, 则>a﹣>﹣, ∴f(x)在上是减函数; 综上,a≤时,f(x)在上是增函数; >a>时,f(x)在上是增函数,在上是减函数; a≥时,f(x)在上是减函数; (Ⅱ)∵存在x∈R,使不等式f(x)≤2|x﹣a|成立, 2∴x+|x+1﹣a|≤2|x﹣a|; 当x≥a时,2x+x+1﹣a≤2x﹣2a, 2即x﹣x+a+1≤0, ∴△=1﹣4(a+1)≥0, 解得a≤﹣; 当a>x>a﹣1时, x+x+1﹣a≤﹣2x+2a,
2即x+3x+1﹣3a≤0, ∴△=9﹣4(1﹣3a)≥0, 解得a≥﹣; 当x≤a﹣1时, 2x﹣x﹣1+a≤﹣2x+2a, 2即x+x﹣1﹣a≤0, ∴△=1﹣4(﹣1﹣a)≥0, 解得a≥﹣; 综上,x≥a时,a的取值范围是a≤﹣; a>x>a﹣1时,a的取值范围是a≥﹣; x≤a﹣1时,a的取值范围是a≥﹣. 点评: 本题考查了含有绝对值的函数与不等式的应用问题,解题时应先去掉绝对值,再讨论函数的性质与解不等式,是较难的题目. 2