发布时间 : 星期四 文章高考数学导数专题1：导数的概念及运算更新完毕开始阅读d1ab8ce6d838376baf1ffc4ffe4733687e21fca7
导数的概念及运算
1．导数的概念及几何意义 (1)了解导数概念的实际背景． (2)理解导数的几何意义． 2．导数的运算
(1)能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x(1)，y＝x2，y＝x3，y＝的导数． (2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． (3)能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数． 一 导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数： 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
limΔx→0Δx(f(x0＋Δx)－f(x0))＝limΔx→0Δx(Δy)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即
f′(x0)＝limΔx→0Δx(Δy)＝limΔx→0Δx(f(x0＋Δx)－f(x0)). (2)导数的几何意义：
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (3)函数f(x)的导函数：
称函数f′(x)＝limΔx→0Δx(f(x＋Δx)－f(x))为f(x)的导函数． 易错点
1．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者． 2．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别． 二 导数的运算
1．基本初等函数的导数公式
2．导数的运算法则
2．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)?
?fx?′＝f′xgx－fxg′x(g(x)≠0)．
?2
[gx]?gx?
3．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x
的导数等于y对u的导数与 u对x的导数的乘积． 易误提醒
1．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(xn)′＝nxn－1中n≠0且n∈Q，(cos x)′＝－sin x.
2．注意公式不要用混，如(ax)′＝axln a，而不是(ax)′＝xax－1. 3．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆
易误提醒
1．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(x)′＝nxnn－1
中n≠0且n∈Q，(cos
x)′＝－sin x.
2．注意公式不要用混，如(a)′＝aln a，而不是(a)′＝xaxxxx－1
.
3．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 题型一 导数的概念
1.已知函数f(x)＝2ln 3x＋8x， 求Δx?0limf(1－2Δx)－f(1)
Δx
的值.
解析Δx?0limf(1－2Δx)－f(1)
Δx
＝－2Δx?0limf(1－2Δx)－f(1)
－2Δx
＝－2f′(1)＝－20.
Δy
【点拨】导数的实质是求函数值相对于自变量的变化率，即求当Δx→0时， 平均变化率 Δxt2
2.某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可以近似地表示为f(t)＝，则100在时刻t＝10 min的降雨强度为( ) 1
A. mm/min 51
C. mm/min 2
1
B. mm/min 4D.1 mm/min
【解析】选A.
2
3．(2015·陕西一检)已知直线y＝－x＋m是曲线y＝x－3ln x的一条切线，则m的值为( )
A．0 B．2 C．1
D．3
332
解析：因为直线y＝－x＋m是曲线y＝x－3ln x的切线，所以令y′＝2x－＝－1，得x＝1，x＝－
x2(舍)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线y＝－x＋m上，所以m＝2，故选B.
4．(2015·洛阳期末)函数f(x)＝esin x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( )
A.C.3π
4π 4
xxxπB. 3πD. 6
解析：因为f′(x)＝esin x＋ecos x，所以f′(0)＝1，即曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为1， 题型二 导数运算 1. 求下列函数的导数. (1)y＝ln(x＋1＋x2)； (2)y＝(x2－2x＋3)e2x；
3
(3)y＝x. 1－x
【解析】运用求导数公式及复合函数求导数法则.
1
(1)y′＝(x＋1＋x2)′
x＋1＋x21x1
＝(1＋)＝. x＋1＋x21＋x21＋x2
(2)y′＝(2x－2)e2x＋2(x2－2x＋3)e2x ＝2(x2－x＋2)e2x.
1x)(3)y′＝(
31－x1x)＝(31－x
2?23?231－x＋x
(1－x)2
1
(1－x)2
4?1?33＝x (1－x) 3
2. 如下图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，
则f(f(0))＝（ ）；
Δx?0limf(1＋Δx)－f(1)
Δx
＝（ ） (用数字作答).
【解析】f(0)＝4，f(f(0))＝f(4)＝2， 由导数定义Δx?0limf(1＋Δx)－f(1)
Δx
＝f′(1).
当0≤x≤2时，f(x)＝4－2x，f′(x)＝－2，f′(1)＝－2.
3．(2015·济宁模拟)已知f(x)＝x(2 014＋ln x)，f′(x0)＝2 015，则x0＝( )
A．e C．ln 2
2
B．1 D．e
1
解析：由题意可知f′(x)＝2 014＋ln x＋x·＝2 015＋ln x．由f′(x0)＝2 015，得ln x0＝0，解
x得x0＝1.
答案：B
4．若函数f(x)＝ln x－f′(－1)x＋3x－4，则f′(1)＝________.
1
解析：∵f′(x)＝－2f′(－1)x＋3，
2
x∴f′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3，
解得f′(－1)＝－2，∴f′(1)＝1＋4＋3＝8. 答案：8
5．下列求导运算正确的是( )
1?1?A.?x＋?′＝1＋2
?x?
xB．(log2x)′＝
2
1
xln 2
C．(3)′＝3log3e
xxD．(xcos x)′＝－2sin x 11?1?xx22
解析：选B ?x＋?′＝1－2；(log2x)′＝；(3)′＝3ln 3；(xcos x)′＝2xcos x－xsin x，
xxln 2?x?故选B.