发布时间 : 星期四 文章高考数学导数专题1：导数的概念及运算更新完毕开始阅读d1ab8ce6d838376baf1ffc4ffe4733687e21fca7
6．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)的导数为( )
A．2(x－a) C．3(x－a)
2
3
2
2
2
2
2
B．2(x＋a) D．3(x＋a)
2
32
2
22
解析：选C ∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)＝x－3ax＋2a， ∴f′(x)＝3(x－a)．
6．函数f(x)＝ax＋3x＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是( )
A.C.19 313 3
2
3
2
2
2
16B. 310D. 3
解析：选D 因为f′(x)＝3ax＋6x， 所以f′(－1)＝3a－6＝4， 10
所以a＝.
3
4．(2016·天津高考)已知函数f(x)＝(2x＋1)e，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．
解析：因为f(x)＝(2x＋1)e，
所以f′(x)＝2e＋(2x＋1)e＝(2x＋3)e， 所以f′(0)＝3e＝3. 答案：3
题型三 导数的几何意义
导数的几何意义为高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也常出现在解答题中前几问，难度较低．归纳起来常见的命题探究角度有： 1．求切线方程问题． 2．确定切点坐标问题． 3．已知切线问题求参数． 4．切线的综合应用．
求切线方程问题
ln x－2x1．(2015·云南一检)函数f(x)＝的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )
0
xxxxxx 已知切线求参数范围
3．(2015·河北五校联考)若曲线C1：y＝ax(a>0)与曲线C2：y＝e存在公共切线，则a的取值范围为( )
2
x?e?A.?，＋∞? ?8??e?C.?，＋∞? ?4?
2
2
2
?e?B.?0，?
?8??e?D.?0，? ?4?
x2
2
2
解析：结合函数y＝ax(a>0)和y＝e的图象可知，要使曲线C1：y＝ax(a>0)与曲线C2：y＝e存ee·x－e·2x在公共切线，只要ax＝e在(0，＋∞)上有解，从而a＝2.令h(x)＝2(x>0)，则h′(x)＝4
2
xxe
xxx2xxxx22
x－2exee＝，令h′(x)＝0，得x＝2，易知h(x)min＝h(2)＝，所以a≥.
x344
答案：C 切线的综合应用
4．(2015·重庆一诊)若点P是函数f(x)＝x－ln x图象上的任意一点，则点P到直线x－y－2＝0的最小距离为( )
A.2 2
B.2 D．3
2
1C. 2
12
解析：由f′(x)＝2x－＝1得x＝1(负值舍去)，所以曲线y＝f(x)＝x－ln x上的切线斜率为1
x|1－1－2|
的点是(1,1)，所以点P到直线x－y－2＝0的最小距离为＝2，故选B.
2
答案：B
导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下三个方面： (1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)． (2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
(3)已知过某点M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0))，利用k＝
fx1－fx0
求解．
x1－x0
易错题：混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误
1532
1. 若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x和y＝ax＋x－9都相切，则a等于( )
425
A．－1或－ 64
21
B．－1或
4
725C．－或－ 464
3
2
7
D．－或7
4
[解析] 因为y＝x，所以y′＝3x， 设过(1,0)的直线与y＝x相切于点(x0，x0)， 则在该点处的切线斜率为k＝3x0，
33223
所以切线方程为y－x0＝3x0(x－x0)，即y＝3x0x－2x0，又(1,0)在切线上，则x0＝0或x0＝，当
2
2
3
3
x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋x－9相切，可得a＝－，
32727152
当x0＝时，由y＝x－与y＝ax＋x－9相切，可得a＝－1，所以选A.
2444[答案] A
2.(2015·兰州一模)已知直线y＝2x＋1与曲线y＝x＋ax＋b相切于点(1,3)，则实数b的值为________．
解析：因为函数y＝x＋ax＋b的导函数为y′＝3x＋a，所以此函数的图象在点(1,3)处的切线斜
??3＋a＝2，
率为3＋a，所以?
?3＝1＋a＋b，?
3
2
3
15
42564
??a＝－1，解得?
?b＝3.?
答案：3
[易误点评] 没有对点(1,0)的位置进行分析，误认为是切点而失误． [防范措施]
对于曲线切线方程问题的求解，对曲线的求导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原则要熟练掌握．(2)对于已知的点，应首先确定其是否为曲线的切点，进而选择相应的方法求解． 随堂测试
1、已知函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程x－2y＋1＝0，则f(1)＋2f ′(1)的值是( ) 1
A. 23C．
2【答案】D
1
【解析】∵函数y＝f(x)的图象在点(1, f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，∴f(1)＝1, f ′(1)＝.∴f(1)＋
22f ′(1)＝2.故选D.
2、曲线y＝sin x＋ex在点(0,1)处的切线方程是( ) A．x－3y＋3＝0 C．2x－y＋1＝0 【答案】C
【解析】y′＝cos x＋ex，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0.
B．x－2y＋2＝0 D．3x－y＋1＝0 B．1 D．2
3、.已知奇函数y=f(x)在区间(-∞,0]上的解析式为f(x)=x2+x,则曲线y=f(x)在横坐标为1的点处的切线方程是( ) A.x+y+1=0 C.3x-y-1=0 【答案】B
【解析】由函数y=f(x)为奇函数,可得f(x)在[0,+∞)内的解析式为f(x)=-x2+x,故切点为(1,0). 因为f'(x)=-2x+1, 所以f'(1)=-1,
故切线方程为y=-(x-1), 即x+y-1=0.
1
4、已知函数f(x)＝sin x－cos x，且f ′(x)＝f(x)，则tan 2x的值是( )
22
A．－
34C． 3【答案】D
－63112tan x
【解析】因为f ′(x)＝cos x＋sin x＝sin x－cos x，所以tan x＝－3，所以tan 2x＝＝＝.
221－tan2x1－94故选D.
1
5、过函数f(x)＝x3－x2图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为( )
33π0，? A.?4??3π?C.??4，π? 【答案】B
π【解析】设切线的倾斜角为α.由题意得k＝f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，即k＝tan α≥－1，解得0≤α<
2或
π3π3π
0，?∪?，π?.故选B. ≤α<π，即切线倾斜角的范围为??2??4?4
π3π
0，?∪?，π? B．??2??4?π3π?D．??2，4? 4
B．－
33D． 4
B.x+y-1=0 D.3x-y+1=0
ln x
6．(2015·长春二模)若函数f(x)＝，则f′(2)＝________.
x1－ln x1－ln 2
解析：由f′(x)＝，得f′(2)＝.
x241－ln 2
答案： 4
7．如果f′(x)是二次函数，且f′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y＝f(x)上任意一点的切线的倾斜角α的取值范围是________．
解析：根据已知可得f′(x)≥ 3，即曲线y＝f(x)上任意一点的切线的斜率k＝tan α≥ 3，结合