发布时间 : 星期一 文章最新数列极限与函数极限的关系与区别 数学毕业论文名师资料合集更新完毕开始阅读d1f74d435ebfc77da26925c52cc58bd6318693cf
1.数列极限
1.1数列极限的定义：
设?xn?是一个数列，a是实数，如果对任意给定的??0，总存在一个整数N，当n?N时，都有xn?a??,我们就称a是数列?xn?的极限或者称数列?xn?收敛，且收敛于a,记为：
limxn?a或xn?a（n??）
n??n??
就读作“当趋n于无穷大时，?xn?的极限等于a或?xn?趋于a数列极限存在，称数列极限。
若数列?xn?没有极限，则称?xn?不收敛，或称?xn?为发散数列。
1.2数列极限的???定义及注意点：
(1)?的任意性
???定义中的整数?，作用是数列通项xn与常数a的接近程度，?越小越接近，而整数?可以任意的小，说明xn和a接近到什么程度，用?的任意性来找出整数?。
(2)?的相应性
一般说，?随着?的变小而变大，常来强调是?依赖于?的，但这并不是说
?是由?唯一确定的，这里重要的是?的存在性，而不是它的值的大小，与?的大小无关。
(3)几何意义
数列?xn?的极限是a的几何意义是对任意的??0，任意一个以a为中心，以?为半径的领域
?a,??或开区间?a??,a???,数列?xn?中总存在一项an在此
项后面的所有项xn，（即除了前?项a1,a2,a3...an以外）它们在数轴上所对应的点，都位于a的?领域
?a,??或区间?a??,a???之中，之多有?个点,在a1,a2,a3此
领域区间之外，因为??0,可以任意小，所以数列?xn?中各项xn所对应的点都无限集在点a的附近。
1.3数列极限的两点说明 (1)?的两重性
定义中的?具有任意性，同时具有确定性，作为任意性，它体现了人们对
xn?a的任意小的主观要求（即定义中的???0，作为确定性，它随着人们的要求而被“确定”是个按人们自己的要求而确定的常数，另外还应该注意，通常人们习惯把?看作一个极小的任意整数，引入的任意整数?是数列极限由定性描述转入定量定义的关键，另一方面?具有相对的固定性，在数列极限定义中，正数虽然?也任意大，但是此时不等式xn?a??并不说明?xn?无限趋近?是任意的，
于a，这里主要是指?任意小，此时不等式xn?a??才说明?xn?无限趋于a，因
1此证明极限问题时，常常限定?的较小的变化范围。如0???1,0???，为了
2?1??1?使??是正整数，限定0???1从而有??＞1. ??????(2) ?的两重性
定义中的?具有确定性和任意性。对于确定性，它是应“人们的要求（要求数列的项xn与常数a的距离xn?a小于?）而确定的一个自然数，也可以记
??????;对于任意性，就是它的存在不唯一，一旦有??????满足人们的要求，则任意大于或等于它的自然数都将满足人们的要求（这也是人们用“???”定义来证明数列极限时常把表达式xn?a适当放大的基本原因。）
1.4数列收敛的条件
(1) 迫敛法则
迫敛法则不但是一种数列收敛的强有力的方法，而且可以同时给出数列极限值的法则。
设给三个数列?an?,?bn?及?cn?，如果liman?a，limcn?b且,当n??时有
n??n??an?bn?cn,则数列?bn?收敛，且limbn?b
n??单调有界数列必收敛。 (2) 柯西（catchy）收敛准则
迫敛法则是及单调有界法则是数列收敛的两个充分条件，下面要介绍的则是一个重要的充分必要条件。
数列?an?收敛的充分必要条件是???0，??，当n,m??时恒有 an?am?? (3) 夹逼定理
设?an?，?bn?，?cn?三个数列，并且存在一个自然数?0,使得：
cn?an?bn，?n??
若?cn?与?bn?都有极限存在，并等于l，则?an?的极限存在，并且等于l。 证明：对于任意给定的??0，存在自然数?1与?2,使得
bn?l??，只要n??1， cn?l??，只要n??2
也即有
bn?l?? ，只要n??1， l???cn ，只要n??2， 现在我们取??max??1,?2?,则有
l???cn?an?bn?l??，只要 n??
也即
an?l??，只要n??
这就是很有用的定理，叫做夹逼定理。它的主要用途是用来证明某给定的极限的存在性。
数列?an?收敛的充分必要条件是???0，??，当n,m??时，恒有an?am??
定义1：任意给??0，若在数列?an? 收敛于极限a。
?a,??之外数列?an?中的项至多只有有限个，则称
定义2：若liman?0，则称?an?为无穷小数列。
n??定理2.1：数列?an?收敛于a的充要条件是：?an?a?为无穷小数列。 (4)单调有界定理
在实数系中，有界的单调数列必有极限。
证：不放设?an?为有界的递增数列。由确界原理，数列?an?有上确界，记a?sup?an?，
任意给??0，按上确界的定义，存在数列?an?中某一项an，使得a???an.由?an?的递增性，当n??时有
a???a??an
另一方面，由于a是?an?的一个上界，故对一切an，都有an?a?a??，所以当n??时有 a???an?a?? 这就证得. liman?a
n??1.5数列极限的性质
收敛数列有如下性质. (1)极限唯一性
若数列?an?收敛，则它的极限是唯一的. 设liman?a与limbn?b，根据数列极限的定义，即
n??n????＞0，??1???,?n??1，有an?a??
??2??? , ?n??2 ,有an?b?? 取??max??1,?2?,?n??，同时有
an?a?? 与an?b?? 于是?n??，有
a?b?a?an?am?b ?a?an?an?b?????2?
即a?b，从而收敛数列?an?的极限唯一。
注意：“极限的唯一性”虽然结论简单，但证明过程较难，但它却是极限