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基于最小二乘法的曲线拟合及其在Matlab中的应用
作者：徐亦唐
来源：《电子世界》2013年第10期
【摘要】物理量之间的函数关系的确定在实际研究工作中有很重要的作用。目前我们用于曲线拟合的方法主要是三次多项式插值法，抛物线加权平均法，张力样条函数插值法等，但这些方法计算量大。本文结合最小二乘法的基本原理，利用最小二乘方法进行曲线拟合，计算过程简便。首先介绍了最小二乘法拟合的基本原理，然后介绍了用Matlab实现曲线拟合以得到函数关系的方法和步骤，最后举例详细介绍了该方法的应用。 【关键词】最小二乘法；Matlab；曲线拟合 1.引言
在现代科学研究中，物理量之间的相互关系通常是用函数来描述的。有些函数关系是由经典理论分析推导得出的，这些函数关系为我们进一步的分析研究工作提供了理论基础。在现实的科学研究过程中，有一些问题很难由经典理论推导出物理量的函数表达式，或者此推导出的表达式也十分复杂，不利于进一步的分析，但又很希望能得到这些量之间的函数关系，这时就可以利用曲线拟合的方法，用实验数据结合数学方法得到物理量之间的近似函数表达式。 Matlab是Math Works公司推出的一种科学计算软件，是集数值计算、符号运算及出色的图形处理、程序语言设计等强大功能于一体的科学计算语言。应用Matlab处理既克服了最小二乘法计算量大等缺点，又使繁琐、枯燥的数值计算变成种简单、直观的可视化操作过程，且能较准确地标记实验数据点和绘出拟合曲线。 2.最小二乘法拟合的基本原理
曲线拟合又称函数逼近，是指对一个复杂函数，求出一个简单的便于计算的函数，要求使与的误差在某种度量意义下最小。我们把近似值和测得值的差值称为残余误差。即显然，残差的大小是衡量拟合好坏的重要标志。经常采用的三种衡量的准则为：（1）使残差的最大绝对值最小：；（2）使残差的绝对值之和最小：；（3）使残差的平方和最小：。
分析上面的三种准则，准则（1）、（2）的提法都比较自然，但是由于含有绝对值，所以不利于实际计算，而按照准则（3）来确定参数，得到拟合曲线的方法称作曲线拟合的最小二乘法，它的计算比较简单，是工程实际当中常用的一种函数逼近的方法。
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设给定的一组实验数据，及各点的权系数，求出自变量x与因变量y的函数关系，最小二乘法不要求通过测量点，而只要求残余误差最小。设逼近函数为： 3.用Matlab实现曲线拟合
Matlab软件是集数值计算、符号运算及出色的图形处理、程序语言设计等强大功能于一体的科学计算语言。用Matlab处理实验数据仅需编写十几行几乎像通常笔算式的简练程序，运行后就可得到所需的结果。这样既克服了最小二乘法计算量大等缺点，又使繁琐、枯燥的数值计算变成一种简单、直观的可视化操作过程，且能较准确地标记实验数据点和绘出拟合曲线。 本文通过举列详细介绍用Matlab实现最小二乘法处理实验数的方法。最小二乘的算法是：
（1）输入数据点和权系数，选择逼近函数系； （2）求解方程组2-6；
（3）由式2-7得到函数的最佳逼近。
将上面算法编写成Matlab程序（函数名：squar_least.m）计算数据最小二乘拟合系数，Function S=squar_least（x，y，n，w）。
数据的最小二乘拟合，其中x，y为数据的（x，y）坐标； n为数据拟合的次数，缺省时n=1； w为权系数，缺省时值为1； s为数据拟合的系数。 4.最小二乘拟合的例子
某日隔两小时测一次气温。设时间为，气温为，数据如表1所示。
用精确的解析式子描述一天的气温变化规律是不可能的也是没有必要的，但根据所测得的数据，可以用拟合数据方法求出近似的解析式子。我们可以看出用三次多项式拟合比较合理。其程序代码如下：
图1的图形可以大致反映该天的天气变化，如果想知道某一时刻的大致温度，我们可以从图中估计出来，当然也可以利用我们所做数据拟合的曲线方程求出大致的温度。在上面的程序中，运行后会得到多项式的系数的值，由高次向低排列分别为-0.0069，-0.0744，5.6141，-