发布时间 : 星期二 文章2020年高考数学二轮提升专题训练考点15 基本不等式及其应用(2)(含答案解析)更新完毕开始阅读d20e2576ac51f01dc281e53a580216fc710a5346
【变式1】、(2018扬州期末） 已知正实数x，y满足5x2＋4xy－y2＝1，则12x2＋8xy－y2的最小值为________． 7【答案】
3
【解析】、思路分析1 注意到所给出的条件比较复杂，且左边能进行分解因式，因此，通过双变量换元，将它转化为以新的变量为元的问题来加以处理．
思路分析2 注意到条件与所研究的结论是关于x，y的二次齐次式，因此，利用“常数1的代换”，将所研究的问题转化为“单变量”的问题来加以解决．
思路分析3 注意到条件与所研究的结论是关于x，y的二次齐次式，因此，利用“基本不等式”进行放缩，将所研究的问题转化为条件等式的“倍式”来加以解决．
思路分析4 令t＝12x2＋8xy－y2，这样，它就与已知条件构成了两个方程，它们所构成的方程组有解，通过消元后，得到关于一个元的方程，利用方程有解来进行处理．
解法1(双变量换元) 因为x>0，y>0，且满足5x2＋4xy－y2＝1，由此可得(5x－y)(x＋y)＝1，令u＝5x－y，v＝x＋y，则有u>0，v>0，uv＝1，并且x＝
u＋v5v－u2
，y＝，代入12x＋8xy－66
u＋v5v－u?5v－u?2u2＋9v2＋22uv2u2·9v2＋22uv28uv28×1?u＋v?2
?＋8·?＝y＝12?·－?≥＝＝＝6612121212?6??6?
2
73233
，当且仅当u＝3v，uv＝1，即u＝3，v＝，亦即x＝，y＝时，12x2＋8xy－y2取得33997最小值. 3
解法2(常数1的代换) 因为x>0，y>0，且满足5x＋4xy－y＝1，由此可得(5x－y)(x＋y)＝1，yy
因为x>0，y>0，x＋y>0，所以5x－y>0，即有0<<5，令t＝，则0 xxy x12x2＋8xy－y212x2＋8xy－y27x2＋4xy4t＋7 ＝＝2＝1＋2＝1＋＝1＋. 15x＋4xy－y25x＋4xy－y2－t2＋4t＋5y?y?2 5＋4·－??x?x? 7＋4· 2 2 再令f(t)＝1＋ 4t＋7 (0 －t＋4t＋5 4（－t2＋4t＋5）－（4t＋7）（－2t＋4）2（2t－1）（t＋4） 令f′(t)＝＝＝0，因为 （－t2＋4t＋5）2（－t2＋4t＋5）2 1 0 2 1???1? 当t∈?0，?时，f′(t)<0，f(t)单调递减；当t∈?，5?时，f′(t)>0，f(t)单调递增， 2???2?1?1?7 所以当t＝时，f(t)取极小值，也是最小值f??＝. 2?2?3 此时x＝2y，结合5x2＋4xy－y2＝1，解得x＝7 ＋8xy－y取得最小值. 3 2 233233 ，y＝，即当x＝，y＝时，12x29999 解法3(基本不等式) 因为x>0，y>0，设u>0，v>0，则ux2＋vy2≥2uvxy.12x2＋8xy－y2≥12x2 ＋8xy－y2＋(2uvxy－ux2－vy2)，即12x2＋8xy－y2≥(12－u)x2＋(8＋2uv)xy－(v＋1)y2.令(12－u)x2＋(8＋2uv)xy－(v＋1)y2＝t(5x2＋4xy－y2)＝t，则12－u＝5t，8＋2uv＝4t，v＋714 1＝t，解得t＝，u＝，v＝， 333 72??1242??35272??352 x＋8xy－yx＋yx＋8xy－y?＋2?＋??≥?所以12x＋8xy－y＝?333333?????? 2 2 124235 x·y＝333 x2＋ 2877723 xy－y2＝(5x2＋4xy－y2)＝，当且仅当x＝2y，结合5x2＋4xy－y2＝1，解得x＝，y33339 ＝ 32337，即当x＝，y＝时，12x2＋8xy－y2取得最小值. 9993 2 t－1－7x 解法4(利用方程组有解) 令t＝12x2＋8xy－y2＝7x2＋4xy＋1，则y＝，代入5x2 4x ＋4xy－y2＝1并化简得81x4－(30t－46)x2＋(t－1)2＝0，从而以u＝x2(u>0)为元的二次方程 81u2－(30t－46)u＋(t－1)2＝0有正数解， 22 ?Δ＝4（15t－23）－4×81（t－1）≥0，77233故?解得t≥，当t＝时，x＝，y＝ ， 3399?30t－46>0， 7 故等号成立，从而12x2＋8xy－y2取得最小值. 3 【变式2】、(2017南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调） 已知对任意的x∈R,3a(sinx＋cosx)＋2bsin2x≤3(a，b∈R)恒成立，则当a＋b取得最小值时，a的值是________． 4【答案】－ 5 【解析】、由a＋b取最小值，故令3(sinx＋cosx)＝2sin2x＝λ＜0，则a＋b≥最小值是 3 .设sinx＋cosx＝t，其中t∈[－2，2]，则sin2x＝t2－1. λ 3 ，即a＋b的λ 133 由λ＝3t＝2(t2－1)，解得t＝－，则λ＝－，此时－(a＋b)≤3，所以a＋b≥－2. 222当a＋b取最小值－2时，3at＋2(－a－2)(t2－1)≤3对t∈[－2，2]恒成立， 即2(a＋2)t2－3at－2a－1≥0对t∈[－2，2]恒成立． 记f(t)＝2(a＋2)t－3at－2a－1，t∈[－2，2]． ?1? 因为f?－?＝0是f(t)的最小值，所以只能把f(t)看成以t为自变量的一元二次函数， ?2? 2 ?所以?? a＋3aa＋ ＞0，1＝－，2 4 解得a＝－. 5 2323a＋8b【变式3】、(2017南京三模）已知a，b，c为正实数，且a＋2b≤8c，＋≤，则的取abcc值范围为 ▲ ． 【答案】．[27，30] ab【解析】、本题所给条件为关于a,b,c的三元不等式，所以首先利用整体思想将其转化为,的 cc二元问题，再根据条件和结论的特征，利用线性规划的思想解决取值范围. ?x?2y?8?a2b??8??ab?cc?23由题意可得：?，设?x,?y，则???2，所求可转化为：t?3x?8y.又 cc?2c?3c?2?xy???ab?x,y?0?x?2y?8?x?2y?8?3x33??可化为?y???，可行域如下图所示，当直线t?3x?8y与曲线?232x?22x?22?x?y?2????x?1,y?0y?3x相切时有最小值，当直线t?3x?8y经过点A时有最大值. 2x?2 ?x?2y?8?令?3x，解得A?2,3?，即tmax?30. y??2x?2?又y??633x9?9???，所以y'?，解得，即切点坐标为x?3y??3,? 282x?24,?4?,?2x?2?所以tmin?27，即t的取值范围为[27，30]. 【变式4】、(2017苏锡常镇调研（一）） 若正数x，y满足15x－y＝22，则x3＋y3－x2－y2的最小值为________． 【答案】、1 【解析】、思路分析 本题最主要的解法是代入消元，然后用导数解决，但计算比较复杂，其余解法是猜特殊值． 解法1 由已知y＝15x－22，所以x3＋y3－(x2＋y2)＝x3＋(15x－22)3－[x2＋(15x－22)2]＝3 376x3－15 076x2＋22 440x－11 132. ?22? 令f(x)＝3 376x－15 076x＋22 440x－11 132，x∈?，＋∞?，则f′(x)＝8(633x－ ?15? 3 2 935)(2x－3)，