发布时间 : 星期二 文章2017高考一轮复习教案-选修4-4极坐标与参数方程更新完毕开始阅读d272cae9c9d376eeaeaad1f34693daef5ef7130a
选修4－4 坐标系与参数方程
1．坐标系与极坐标 (1)理解坐标系的作用．
(2)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标与直角坐标的互
化．
(3)能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示图形时选择坐标系的意义．
2．参数方程
(1)了解参数方程，了解参数的意义．
(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．
(3)掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题．
知识点一 极坐标系 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系
如图所示，在平面内取一个定点O，点O叫作极点，自极点O引一条射线Ox，Ox叫作极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位及其正方向，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标
①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫作点M的极径，记为ρ. ②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫作点M的极角，记为θ. ③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记作M(ρ，θ)． 2．极坐标与直角坐标的互化
设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：
?ρ＝x＋y，??x＝ρcosθ，?
?? y
?y＝ρsinθ；?tanθ＝?x≠0?.?
x?
222
易误提醒
1．极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式．在解决此类问题时考生要注意两个方面：一是准确应用公式，二是注意方程中的限制条件．
2．在极坐标系下，点的极坐标不唯一性易忽视．
注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一点的坐标．
[自测练习]
1??x′＝2x，
1．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为?则在这一坐标变换下正弦曲线y
??y′＝3y，＝sinx的方程变为________．
1x＝2x′，???x′＝2x，?
解析：由?知?1
y＝y′.???y′＝3y.?3代入y＝sinx中得y′＝3sin2x′. 答案：y′＝3sin2x′
2．点P的直角坐标为(1，－3)，则点P的极坐标为________．
解析：因为点P(1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为－ππ
2，－?. ，所以点P的极坐标为?3??3
π
2，－? 答案：?3??
π
2，?到直线ρ(cosθ＋3sinθ)＝6的距离为3．(2015·高考北京卷)在极坐标系中，点??3?________．
π
2，?的直角坐标为(1，3)，直线ρ(cosθ＋3sinθ)＝6的直角坐标方程为x解析：点??3?|1＋3×3－6|
＋3y－6＝0，所以点(1，3)到直线的距离d＝＝1.
1＋3
答案：1
知识点二 参数方程 参数方程的概念
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点P的坐标x，y是某个变数t的
???x＝f?t?，?x＝f?t?，?函数并且对于t的每一个允许值，由函数式?所确定的点P(x，y)都在?y＝g?t?，???y＝g?t???x＝f?t?，曲线C上，那么方程?叫作这条曲线的参数方程，变数t叫作参变数，简称参数．相
?y＝g?t??
对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程．
易误提醒
1．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致，否则不等价． 2．直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义，且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|＝|t|.
[自测练习]
?x＝2＋22t，
4．在平面直角坐标系中，曲线C：?2
y＝1＋t，?2
答案：x－y－1＝0
(t为参数)的普通方程为________．
解析：依题意，消去参数可得x－2＝y－1，即x－y－1＝0.
?x＝2cosθ，
5．在平面直角坐标系xOy中，过椭圆?(θ为参数)的右焦点，且与直线
?y＝3sinθ
??x＝4－2t，?(t为参数)平行的直线截椭圆所得的弦长为________． ?y＝3－t?
x2y2
解析：椭圆的普通方程为＋＝1，则右焦点的坐标为(1,0)．直线的普通方程为x－2y
43xy??4＋3＝1，
＋2＝0，过点(1,0)与直线x－2y＋2＝0平行的直线方程为x－2y－1＝0，由?
??x－2y－1＝0，得4x2－2x－11＝0，所以所求的弦长为
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答案： 4
考点一 曲线的极坐标方程|
π2θ－?＝. 1．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsin??4?2(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
1?2
1＋??2?×
2
2
?1?2－4×?－11?＝15.
?2??4?4
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标． 解：(1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ， 圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y， 即x2＋y2－x－y＝0，
π2
θ－?＝，即ρsinθ－ρcosθ＝1，则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，直线l：ρsin??4?2即x－y＋1＝0.
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???x＋y－x－y＝0，?x＝0，π?1，?. (2)由得?故直线l与圆O公共点的一个极坐标为??2??x－y＋1＝0，???y＝1，
π
θ－?＝2．(2016·长春模拟)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos??4?2.
(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4. π
θ－?＝2， 因为ρ2－22ρcos??4?
ππ
cosθcos ＋sinθsin ?＝2. 所以ρ2－22ρ?44??所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1. 化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1， π2
θ＋?＝. 即ρsin??4?2
直角坐标化为极坐标的关注点
(1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．
当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M的极坐标是唯一的．
(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ∈[0,2π)的值．
考点二 曲线的参数方程|
???x＝－4＋cost，?x＝8cosθ，
?1．已知曲线C1：(t为参数)曲线C2：?(θ为参数) ?y＝3＋sint，?y＝3sinθ.??