发布时间 : 星期一 文章浙江专用高考数学大一轮复习专题突破六高考中的圆锥曲线整理更新完毕开始阅读d32336183e1ec5da50e2524de518964bcf84d226
（浙江专用）高考数学大一轮复习 高考专题突破六
高考中的圆锥曲线问题教师用书
1．(2015·课标全国Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( ) A.5 B．2 C.3 D.2 答案 D
x2y2
解析 如图，设双曲线E的方程为2－2＝1(a＞0，b＞0)，则|AB|＝2a，由双曲线的对
ab称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1,0)，
∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°， ∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，
∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2asin 60°＝3a，
x2y2
x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos 60°＝2a.将点M(x1，y1)的坐标代入2－2＝1，可得a2＝b2，
abc∴e＝＝
aa2＋b2
＝2，选D. 2
a2．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
1
3393639A. B. C. D.
48324答案 D
3
解析 由已知得焦点坐标为F(，0)，
433
因此直线AB的方程为y＝(x－)，
34即4x－43y－3＝0.
方法一 联立直线方程与抛物线方程化简得4y2－123y－9＝0， 故|yA－yB|＝
yA＋yB2
－4yAyB＝6.
1139
因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝.
2244219
方法二 联立方程得x2－x＋＝0，
21621
故xA＋xB＝.
2
根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝＝12，
同时原点到直线AB的距离为h＝19
因此S△OAB＝|AB|·h＝. 24
|－3|42＋
－43
3
＝， 28
213
＋ 22
x2y2
3．(2016·山西质量监测)已知A，B分别为椭圆2＋2＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点，直
ab线y＝kx(k>0)与椭圆交于C，D两点，若四边形ACBD的面积的最大值为2c2，则椭圆的离心率为( ) 1132A. B. C. D. 3232答案 D
2
解析 设C(x1，y1)(x1>0)，D(x2，y2)，
－ab将y＝kx代入椭圆方程可解得x1＝222，x2＝222， b＋akb＋ak2
2ab1＋k则|CD|＝1＋k2|x1－x2|＝.
b2＋a2k2
ab又点A(a,0)到直线y＝kx的距离d1＝11
所以S四边形ACBD＝d1|CD|＋d2|CD|
22
ak1＋k2
，点B(0，b)到直线y＝kx的距离d2＝b1＋k2
，
11b＋ak2ab1＋k2
＝(d1＋d2)·|CD|＝·2·222 221＋kb＋ak＝ab·b＋ak222. b＋akb＋ak令t＝222， b＋akb2＋a2k2＋2abkk则t＝＝1＋2ab·2 b2＋a2k2b＋a2k2
2
＝1＋2ab·1
b22
＋akk1
≤1＋2ab·＝2，
2abb22b当且仅当＝ak，即k＝时，tmax＝2，
ka所以S四边形ACBD的最大值为2ab. 由条件，有2ab＝2c2，
即2c4＝a2b2＝a2(a2－c2)＝a4－a2c2,2c4＋a2c2－a4＝0,2e4＋e2－1＝0， 122
解得e＝或e＝－1(舍去)，所以e＝，故选D.
22
2
x2y2
4．(2016·北京)双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在
ab的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝____ ________________.
3
答案 2
解析 设B为双曲线的右焦点，如图所示．
∵四边形OABC为正方形且边长为2， ∴c＝|OB|＝22， π
又∠AOB＝，
4
bπ
∴＝tan＝1，即a＝b. a4
又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.
题型一 求圆锥曲线的标准方程
x2y23
例1 已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线lab3
4