发布时间 : 星期日 文章浙江专用高考数学大一轮复习专题突破六高考中的圆锥曲线整理更新完毕开始阅读d32336183e1ec5da50e2524de518964bcf84d226
题型三 最值、范围问题
3x23x2y2
例3 若直线l：y＝－过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且与双曲线的
33ab一条渐近线平行． (1)求双曲线的方程；
(2)若过点B(0，b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m在y轴上的截距的取值范围．
b3
解 (1)由题意，可得c＝2，＝，
a3
所以a2＝3b2，且a2＋b2＝c2＝4，
解得a＝3，b＝1.故双曲线的方程为－y2＝1.
3(2)由(1)知B(0,1)，依题意可设过点B的直线方程为
x2
y＝kx＋1(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)． y＝kx＋1，??由?x－y＝1，??3
2
2
得(1－3k2)x2－6kx－6＝0，
6k所以x1＋x2＝，
1－3k2
9
Δ＝36k2＋24(1－3k2)＝12(2－3k2)>0?0 1 且1－3k≠0?k≠. 3 2 2 23 设MN的中点为Q(x0，y0)， 3k1 则x0＝＝，y0＝kx0＋1＝， 21－3k21－3k23k?11? 故直线m的方程为y－2?， 2＝－?x－1－3kk?1－3k?14即y＝－x＋. k1－3k2 4 所以直线m在y轴上的截距为， 1－3k221 由0 33得1－3k2∈(－1,0)∪(0,1)， 4 所以∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)． 1－3k2 故直线m在y轴上的截距的取值范围为(－∞，－4)∪(4，＋∞)． 思维升华 圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和均值不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值与范围． x1＋x2 10 直线l：x－y＝0与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点， 2 点C是椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为________． 答案 2 x2 ??x－y＝0， 解析 由?22 ??x＋2y－2＝0， 得3x2＝2，， ∴x＝± 6 ，设点A在第一象限， 3 666643∴A(，)，B(－，－)，∴|AB|＝. 33333设与l平行的直线l′：y＝x＋m与椭圆相切于P点． 则△ABP面积最大． y＝x＋m，??由?x＋y＝1，??2 2 2 得3x2＋4mx＋2m2－2＝0， ∴Δ＝(4m)2－4×3×(2m2－2)＝0， ∴m＝±3.∴P到AB的距离即为l与l′的距离， 31433∴d＝.∴S△ABC＝××＝2. 2322题型四 定值、定点问题 例4 (2016·全国乙卷)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x 11 轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E. (1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程； (2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围． 解 (1)因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|. 又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4. 由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)． 43(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)． x2y2 y＝kx－1??由?xy＋＝1，??43 2 2 ， 得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0. 8k24k2－12则x1＋x2＝2，x1x2＝2， 4k＋34k＋3 2 12k＋1 所以|MN|＝1＋k2|x1－x2|＝. 4k2＋3 1 过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)， k2 点A到m的距离为2， k＋1所以|PQ|＝2 ?2 4－?? ? 2??2 ＝42 k＋1?? 4k2＋3 . k2＋1 故四边形MPNQ的面积 1 S＝|MN||PQ|＝12 2 1 1＋2. 4k＋3 可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,83)． 当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12. 12