发布时间 : 星期日 文章浙江专用高考数学大一轮复习专题突破六高考中的圆锥曲线整理更新完毕开始阅读d32336183e1ec5da50e2524de518964bcf84d226
综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,83)． 思维升华 求定点及定值问题常见的方法有两种 (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
x2y2
(2016·北京)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离
ab心率为
3
，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面积为1. 2
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值．
c31
(1)解 由已知＝，ab＝1.
a22
又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝3. ∴椭圆方程为＋y2＝1.
4
(2)证明 由(1)知，A(2,0)，B(0,1)． 设椭圆上一点P(x0，y0)，则＋y20＝1.
4当x0≠0时，直线PA方程为y＝
x2
x20
y0
x0－2
(x－2)，
13
－2y0
令x＝0，得yM＝. x0－2
?2y0?
?. 从而|BM|＝|1－yM|＝?1＋x－20??
直线PB方程为y＝
y0－1－x0x＋1.令y＝0，得xN＝. x0y0－1
?x0?
?. ∴|AN|＝|2－xN|＝?2＋y－10??
?x0??2y0??·?1＋? ∴|AN|·|BM|＝?2＋
y0－1??x0－2???x0＋2y0－2??x0＋2y0－2?
?·?? ＝?
y－1x－200????
2
?x20＋4y0＋4x0y0－4x0－8y0＋4?
? ＝?
x0y0－x0－2y0＋2??
?4x0y0－4x0－8y0＋8?
?＝4. ＝?
xy－x－2y＋200?00?
当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2， ∴|AN|·|BM|＝4.故|AN|·|BM|为定值． 题型五 探索性问题
例5 (2015·广东)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点
A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；
(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
解 (1)圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0化为(x－3)2＋y2＝4，∴圆C1的圆心坐标为(3,0)． (2)设M(x，y)，
∵A，B为过原点的直线l与圆C1的交点，且M为AB的中点，
14
→1·→∴由圆的性质知MC1⊥MO，∴MCMO＝0. →1＝(3－x，－y)，→又∵MCMO＝(－x，－y)， ∴由向量的数量积公式得x2－3x＋y2＝0. 易知直线l的斜率存在， ∴设直线l的方程为y＝mx，
|3m－0|
当直线l与圆C1相切时，d＝＝2，
m2＋125
解得m＝±.
5
把相切时直线l的方程代入圆C1的方程， 5
化简得9x－30x＋25＝0，解得x＝. 3
2
当直线l经过圆C1的圆心时，M的坐标为(3,0)． 又∵直线l与圆C1交于A，B两点，M为AB的中点， 5
∴ 5 ∴点M的轨迹C的方程为x－3x＋y＝0，其中 3 2 2 (3)由题意知直线L表示过定点(4,0)，斜率为k的直线，把直线L的方程代入轨迹C的55 方程x2－3x＋y2＝0，其中 335 记f(x)＝(k＋1)x－(3＋8k)x＋16k，其中 3 2 2 2 2 若直线L与曲线C只有一个交点，令f(x)＝0. 93 当Δ＝0时，解得k＝，即k＝±，此时方程可化为25x2－120x＋144＝0，即(5x－12)2 164 2 ＝0， 12?5?3 ??，3解得x＝∈，∴k＝±满足条件． 5?3?4 15 当Δ>0时， ?5?5 ①若x＝3是方程的解，则f(3)＝0?k＝0?另一根为x＝0<，故在区间?，3?上有且仅 3?3? 有一个根，满足题意； 5 ②若x＝是方程的解，则 3 ?5?2564564??f＝0?k＝±?另外一根为x＝，<≤3，故在区间 723323?3? ?5? ?，3?上有且仅有一根，满足题意； ?3? ?5?5 ③若x＝3和x＝均不是方程的解，则方程在区间?，3?上有且仅有一个根，只需 3?3??5??5?2525 f??·f(3)<0?－ 25253综上所述，k的取值范围是－≤k≤或k＝±. 774 思维升华 (1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在． (2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法． x2y2 (2016·山东枣庄八中月考)已知椭圆C：2＋2＝ ab 16