发布时间 : 星期一 文章浙江专用高考数学大一轮复习专题突破六高考中的圆锥曲线整理更新完毕开始阅读d32336183e1ec5da50e2524de518964bcf84d226
1
令m2－1＝t∈(－1,0)∪(，＋∞)，
3则d＝
3t1－2＝t＋t＋1
31－∈[0,1)∪(1,2)，
1t＋＋1
t综上可知d∈[0,2)．
3．(2017·浙江新高考预测)已知曲线C的方程是mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，且曲线C过2263
A(，)，B(，)两点，O为坐标原点． 4263(1)求曲线C的方程；
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)是曲线C上两点，且OM⊥ON，求证：直线MN恒与一个定圆相切．
??(1)解 由题可得?11
??6m＋3n＝1，
11
m＋n＝1，82
解得m＝4，n＝1.
所以曲线C的方程为y2＋4x2＝1.
222
(2)证明 由题得y21＋4x1＝1，y2＋4x2＝1，x1x2＋y1y2＝0，
原点O到直线MN的距离 |OM|·|ON|d＝＝
|MN|＝ ＝ ＝
22
x2x21＋y12＋y2x1－x22＋y1－y2
2
22
x2x21＋y12＋y2
222
x1＋x22＋y1＋y221－3x11－3x22
2
2－3x1＋x22
22
1－3x1＋x2＋9x221x2
. 2
2－3x1＋x22
由x1x2＋y1y2＝0，得
22222
x1x2＝y21y2＝(1－4x1)(1－4x2)
21
222
＝1－4(x21＋x2)＋16x1x2，
4221所以xx＝(x1＋x2)－，
1515
22
12
d＝
12222
－3x＋x＋x1＋x2＋
55
22
2－3x1＋x2
21
22
＝
2322－x1＋x255
2
2－3x21＋x2
5
＝， 5
1
所以直线MN恒与定圆x2＋y2＝相切．
5
4．已知椭圆＋＝1的左顶点为A，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于B，C两点．
43(1)求该椭圆的离心率；
(2)设直线AB和AC分别与直线x＝4交于点M，N，问：x轴上是否存在定点P使得MP⊥NP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 解 (1)由椭圆方程可得a＝2，b＝3， 从而椭圆的半焦距c＝a2－b2＝1.
x2y2
c1所以椭圆的离心率为e＝＝. a2
(2)依题意，直线BC的斜率不为0， 设其方程为x＝ty＋1.
将其代入＋＝1，整理得(4＋3t2)y2＋6ty－9＝0.
43设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
－6t－9
所以y1＋y2＝，y1y2＝.
4＋3t24＋3t2易知直线AB的方程是y＝
x2y2
y1
x1＋2
(x＋2)，
22
从而可得M(4，
6y16y2
)，同理可得N(4，)． x1＋2x2＋2
假设x轴上存在定点P(p,0)使得MP⊥NP， →＝0. 则有→PM·PN所以(p－4)2＋
36y1y2
＝0.
x1＋2x2＋2
将x1＝ty1＋1，x2＝ty2＋1代入上式，整理得 36y1y2
(p－4)＋2＝0，
ty1y2＋3ty1＋y2＋9
2
所以(p－4)＋
2
t2－9
36×－9
＝0，
＋3t－6t＋94＋3t2
即(p－4)2－9＝0，解得p＝1或p＝7. 所以x轴上存在定点P(1,0)或P(7,0)， 使得MP⊥NP.
x2y2
5．(2016·浙江名校第一次联考)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左，右焦点为F1，F2，
ab离心率为e.直线l：y＝ex＋a与x轴，y轴分别交于点A，B两点，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设→AM＝λ→AB. 3
(1)若λ＝，求椭圆C的离心率；
4(2)若△PF1F2为等腰三角形，求λ的值．
解 (1)因为A，B分别是直线l：y＝ex＋a与x轴，y轴的交点，
a所以A，B的坐标分别为(－，0)，(0，a)，
ey＝ex＋a，??由?xy＋＝1，?a?b2
2
2
2
x＝－c，??
得?by＝.c＝a＋b??a2
2
2
b2
所以点M的坐标是(－c，)，
a
23
由→AM＝λAB→，得(－c＋ae，b2
a)＝λ(ae，a)． ?aa即?
?e－c＝λe，?2
?ba＝λa，
解得λ＝1－e2
，因为λ＝31
4，所以e＝2
.
(2)因为PF1⊥l，所以∠PF1F2＝90°＋∠BAF1为钝角， 要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|＝|F1F2|， 即1
2
|PF1|＝c.设点F1到l的距离为d， 由12|PF|e－c＋0＋a||a－ec|1|＝d＝1＋e2＝1＋e2＝c，得 1－e2
1＋e2＝e， 所以e2
＝12
23，于是λ＝1－e＝3
. 即当λ＝2
3
时，△PF1F2为等腰三角形．
24